与えられた関数 $e^{-3t}\frac{d}{dt}\{e^{3t}(\sin 3t + \cos 3t)\}$ を微分し、簡略化すること。$u = 3t$ を用いて計算するように指示されています。

1. 問題の内容

与えられた関数 $e^{-3t}\frac{d}{dt}\{e^{3t}(\sin 3t + \cos 3t)\}$ を微分し、簡略化すること。$u = 3t$ を用いて計算するように指示されています。

2. 解き方の手順

まず、積の微分法則を用いて $\frac{d}{dt}\{e^{3t}(\sin 3t + \cos 3t)\}$ を計算します。

積の微分法則は $\frac{d}{dt}(f(t)g(t)) = f'(t)g(t) + f(t)g'(t)$ です。

この場合、$f(t) = e^{3t}$ と $g(t) = \sin 3t + \cos 3t$ とします。

$f'(t) = 3e^{3t}$

$g'(t) = 3\cos 3t - 3\sin 3t$

よって、

$\frac{d}{dt}\{e^{3t}(\sin 3t + \cos 3t)\} = 3e^{3t}(\sin 3t + \cos 3t) + e^{3t}(3\cos 3t - 3\sin 3t)$

$= 3e^{3t}\sin 3t + 3e^{3t}\cos 3t + 3e^{3t}\cos 3t - 3e^{3t}\sin 3t$

$= 6e^{3t}\cos 3t$

次に、この結果を $e^{-3t}$ で掛けます。

$e^{-3t} \cdot 6e^{3t}\cos 3t = 6\cos 3t$

3. 最終的な答え

$6\cos 3t$