関数 $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ が $f(x) = 1$ で定義されるとき、この関数 $f$ が $\mathbb{R}$ 上で微分可能であることを証明する。

1. 問題の内容

関数 $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ が $f(x) = 1$ で定義されるとき、この関数 $f$ が $\mathbb{R}$ 上で微分可能であることを証明する。

2. 解き方の手順

関数 $f(x) = 1$ が微分可能であることを示すためには、任意の $x \in \mathbb{R}$ において微分係数が存在することを示せばよい。

微分係数は、次の極限で定義される：

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

関数 $f(x) = 1$ をこの定義に代入する：

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{1 - 1}{h}$

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{0}{h}$

$f'(x) = \lim_{h \to 0} 0$

$f'(x) = 0$

任意の $x \in \mathbb{R}$ において、微分係数 $f'(x) = 0$ が存在するため、$f(x) = 1$ は $\mathbb{R}$ 上で微分可能である。

3. 最終的な答え

関数 $f(x) = 1$ は $\mathbb{R}$ 上で微分可能であり、その導関数は $f'(x) = 0$ である。