問題1: 関数 $y = \frac{1}{x}$ が $x = 1$ で連続であることを、$\epsilon$-$\delta$ 論法を用いて示してください。 問題2: 関数 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ と関数 $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ の合成関数 $g \circ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ について、以下の命題が正しければ証明し、正しくない場合は反例を挙げてください。 (1) $g \circ f$ が連続関数ならば、$f$ も連続関数である。 (2) $g \circ f$ が連続関数ならば、$g$ も連続関数である。

1. 問題の内容

問題1: 関数 $y = \frac{1}{x}$ が $x = 1$ で連続であることを、$\epsilon$-$\delta$ 論法を用いて示してください。

問題2: 関数 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ と関数 $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ の合成関数 $g \circ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ について、以下の命題が正しければ証明し、正しくない場合は反例を挙げてください。

(1) $g \circ f$ が連続関数ならば、$f$ も連続関数である。

(2) $g \circ f$ が連続関数ならば、$g$ も連続関数である。

2. 解き方の手順

問題1:

$\epsilon$-$\delta$ 論法で連続性を示すには、任意の $\epsilon > 0$ に対して、ある $\delta > 0$ が存在し、$|x - 1| < \delta$ ならば $|f(x) - f(1)| < \epsilon$ が成り立つことを示せばよい。

$f(x) = \frac{1}{x}$ なので、$f(1) = 1$ である。よって、$|f(x) - f(1)| = |\frac{1}{x} - 1| = |\frac{1 - x}{x}| = \frac{|x - 1|}{|x|}$ となる。

$|x - 1| < \delta$ と仮定する。まず、$\delta \leq \frac{1}{2}$ となるように $\delta$ を小さく取る。このとき、$1 - \frac{1}{2} < x < 1 + \frac{1}{2}$ となり、$\frac{1}{2} < x < \frac{3}{2}$ である。

したがって、$\frac{1}{|x|} < 2$ である。

よって、$|f(x) - f(1)| = \frac{|x - 1|}{|x|} < 2|x - 1| < 2\delta$ となる。

ここで、$2\delta \leq \epsilon$ となるように $\delta$ を選べばよい。すなわち、$\delta \leq \frac{\epsilon}{2}$ である。

したがって、$\delta = \min\{\frac{1}{2}, \frac{\epsilon}{2}\}$ とすれば、$|x - 1| < \delta$ ならば $|f(x) - f(1)| < \epsilon$ が成り立つ。

問題2:

(1) この命題は正しくない。反例を示す。

$f(x) = \begin{cases} 0 & (x \neq 0) \\ 1 & (x = 0) \end{cases}$

$g(x) = 0$

と定義する。

このとき、$g(f(x)) = 0$ であり、これは連続関数である。

しかし、$f(x)$ は $x=0$ で連続でない。

(2) この命題も正しくない。反例を示す。

$f(x) = \begin{cases} 0 & (x \geq 0) \\ 1 & (x < 0) \end{cases}$

$g(x) = \begin{cases} 0 & (x = 0) \\ 1 & (x \neq 0) \end{cases}$

と定義する。

このとき、$g(f(x)) = 1$ であり、これは連続関数である。

しかし、$g(x)$ は $x=0$ で連続でない。

3. 最終的な答え

問題1:

任意の $\epsilon > 0$ に対して、$\delta = \min\{\frac{1}{2}, \frac{\epsilon}{2}\}$ とすれば、$|x - 1| < \delta$ ならば $|f(x) - f(1)| < \epsilon$ が成り立つので、$y = \frac{1}{x}$ は $x = 1$ で連続である。

問題2:

(1) 正しくない。反例は、$f(x) = \begin{cases} 0 & (x \neq 0) \\ 1 & (x = 0) \end{cases}$, $g(x) = 0$。

(2) 正しくない。反例は、$f(x) = \begin{cases} 0 & (x \geq 0) \\ 1 & (x < 0) \end{cases}$, $g(x) = \begin{cases} 0 & (x = 0) \\ 1 & (x \neq 0) \end{cases}$。