与えられた累次積分または重積分を計算します。 (a) $\int_0^2 \int_1^4 xy \, dy \, dx$ (b) $\int_1^4 \int_0^2 (y - xy^2 + 4xy) \, dx \, dy$ (a) $\iint_D (x^2 + 2xy + y^2) \, dx \, dy$, $D: -1 \le x \le 1, 2 \le y \le 3$ (b) $\iint_D (x^2 + 2xy) \, dx \, dy$, $D: 0 \le x \le 1, 0 \le y \le x$

1. 問題の内容

与えられた累次積分または重積分を計算します。

(a) $\int_0^2 \int_1^4 xy \, dy \, dx$

(b) $\int_1^4 \int_0^2 (y - xy^2 + 4xy) \, dx \, dy$

(a) $\iint_D (x^2 + 2xy + y^2) \, dx \, dy$, $D: -1 \le x \le 1, 2 \le y \le 3$

(b) $\iint_D (x^2 + 2xy) \, dx \, dy$, $D: 0 \le x \le 1, 0 \le y \le x$

2. 解き方の手順

(a)

まず内側の積分を計算します。

$\int_1^4 xy \, dy = x \int_1^4 y \, dy = x \left[ \frac{y^2}{2} \right]_1^4 = x \left( \frac{16}{2} - \frac{1}{2} \right) = x \cdot \frac{15}{2} = \frac{15}{2}x$

次に外側の積分を計算します。

$\int_0^2 \frac{15}{2}x \, dx = \frac{15}{2} \int_0^2 x \, dx = \frac{15}{2} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^2 = \frac{15}{2} \left( \frac{4}{2} - 0 \right) = \frac{15}{2} \cdot 2 = 15$

(b)

まず内側の積分を計算します。

$\int_0^2 (y - xy^2 + 4xy) \, dx = \int_0^2 (y + (4y - y^2)x) \, dx = \left[ xy + (4y - y^2) \frac{x^2}{2} \right]_0^2 = 2y + (4y - y^2) \cdot \frac{4}{2} = 2y + 2(4y - y^2) = 2y + 8y - 2y^2 = 10y - 2y^2$

次に外側の積分を計算します。

$\int_1^4 (10y - 2y^2) \, dy = \left[ 5y^2 - \frac{2}{3}y^3 \right]_1^4 = \left( 5(16) - \frac{2}{3}(64) \right) - \left( 5 - \frac{2}{3} \right) = 80 - \frac{128}{3} - 5 + \frac{2}{3} = 75 - \frac{126}{3} = 75 - 42 = 33$

(a)

$\iint_D (x^2 + 2xy + y^2) \, dx \, dy = \int_2^3 \int_{-1}^1 (x+y)^2 \, dx \, dy$

まず内側の積分を計算します。

$\int_{-1}^1 (x+y)^2 \, dx = \left[ \frac{(x+y)^3}{3} \right]_{-1}^1 = \frac{(1+y)^3}{3} - \frac{(-1+y)^3}{3} = \frac{1}{3} ((1+3y+3y^2+y^3) - (-1+3y-3y^2+y^3)) = \frac{1}{3} (2 + 6y^2) = \frac{2}{3} + 2y^2$

次に外側の積分を計算します。

$\int_2^3 \left( \frac{2}{3} + 2y^2 \right) \, dy = \left[ \frac{2}{3}y + \frac{2}{3}y^3 \right]_2^3 = \left( \frac{2}{3}(3) + \frac{2}{3}(27) \right) - \left( \frac{2}{3}(2) + \frac{2}{3}(8) \right) = (2 + 18) - \left( \frac{4}{3} + \frac{16}{3} \right) = 20 - \frac{20}{3} = \frac{60-20}{3} = \frac{40}{3}$

(b)

$\iint_D (x^2 + 2xy) \, dx \, dy = \int_0^1 \int_0^x (x^2 + 2xy) \, dy \, dx$

まず内側の積分を計算します。

$\int_0^x (x^2 + 2xy) \, dy = \left[ x^2y + xy^2 \right]_0^x = x^3 + x^3 = 2x^3$

次に外側の積分を計算します。

$\int_0^1 2x^3 \, dx = \left[ \frac{2}{4}x^4 \right]_0^1 = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(a) 15

(b) 33

(a) $\frac{40}{3}$

(b) $\frac{1}{2}$