関数 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ と $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ の合成関数 $g \circ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ について、以下の2つの命題の真偽を判定し、正しければ証明し、正しくない場合は反例を挙げる。 (1) $g \circ f$ が連続関数ならば、$f$ も連続関数である。 (2) $g \circ f$ が連続関数ならば、$g$ も連続関数である。

1. 問題の内容

関数 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ と $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ の合成関数 $g \circ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ について、以下の2つの命題の真偽を判定し、正しければ証明し、正しくない場合は反例を挙げる。

(1) $g \circ f$ が連続関数ならば、$f$ も連続関数である。

(2) $g \circ f$ が連続関数ならば、$g$ も連続関数である。

2. 解き方の手順

(1) の命題について：

反例を挙げる。

$g(x) = \begin{cases} 1 & (x=0) \\ 0 & (x \ne 0) \end{cases}$

$f(x) = \begin{cases} 0 & (x \in \mathbb{R}) \end{cases}$

このとき、$f(x)$ は定数関数なので連続である。

$g(x)$ は、$x=0$ で不連続である。

$g(f(x)) = g(0) = 1$ となり、$g \circ f$ は定数関数なので連続である。

しかし、$g$ は連続ではないので、命題は正しくない。

(2) の命題について：

反例を挙げる。

$f(x) = \begin{cases} 0 & (x \in \mathbb{R}) \end{cases}$

$g(x) = \begin{cases} 1 & (x=0) \\ x & (x \ne 0) \end{cases}$

このとき、$f(x)$ は定数関数なので連続である。

$g(x)$ は、$x=0$ で連続である。

$g(f(x)) = g(0) = 1$ となり、$g \circ f$ は定数関数なので連続である。

反例を挙げる別の例として

$f(x) = \begin{cases} 0 & (x=0) \\ 1/x & (x \ne 0) \end{cases}$

$g(x) = \begin{cases} 0 & (x \ne 0) \\ 1 & (x = 0) \end{cases}$

このとき、$g(f(x)) = 0$となる。

$f(x) = \begin{cases} 0 & (x=0) \\ 1 & (x \ne 0) \end{cases}$

$g(x) = 0$

この時、$g(f(x)) = 0$ は連続だが、$f(x)$は不連続。

別な反例を考える。

$f(x) = 0$

$g(x) = \begin{cases} 1 & (x = 0) \\ 0 & (x \ne 0) \end{cases}$

$g \circ f(x) = g(0) = 1$ であるから$g \circ f$ は連続。しかし、$g(x)$は$x=0$で不連続。

3. 最終的な答え

(1) 命題は正しくない。反例:

$g(x) = \begin{cases} 1 & (x=0) \\ 0 & (x \ne 0) \end{cases}$

$f(x) = 0$

このとき、$g \circ f(x) = 1$ は連続だが、$g$ は $x=0$ で不連続。

(2) 命題は正しくない。反例:

$f(x) = 0$

$g(x) = \begin{cases} 1 & (x = 0) \\ 0 & (x \ne 0) \end{cases}$

このとき、$g \circ f(x) = 1$ は連続だが、$g(x)$は$x=0$で不連続。