関数 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ と関数 $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ の合成関数 $g \circ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ について、以下の2つの命題の真偽を判定する。正しければ証明し、正しくない場合は反例を挙げる。 (1) $g \circ f$ が連続関数ならば、$f$ も連続関数である。 (2) $g \circ f$ が連続関数ならば、$g$ も連続関数である。

1. 問題の内容

関数 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ と関数 $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ の合成関数 $g \circ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ について、以下の2つの命題の真偽を判定する。正しければ証明し、正しくない場合は反例を挙げる。

(1) $g \circ f$ が連続関数ならば、$f$ も連続関数である。

(2) $g \circ f$ が連続関数ならば、$g$ も連続関数である。

2. 解き方の手順

(1) の命題について：

この命題は一般には正しくありません。反例を挙げます。

関数 $f(x)$ を

$$$$

f(x) = \begin{cases}

0 & (x \in \mathbb{Q}) \\

1 & (x \notin \mathbb{Q})

\end{cases}

$$$$

で定義します。

関数 $g(x)$ を

$$$$

g(x) = \begin{cases}

c & (x=0) \\

c & (x=1) \\

0 & (x \ne 0, x\ne 1)

\end{cases}

$$$$

ここで、$c$は定数。

すると、$g(f(x)) = c$ となり、$g \circ f$ は連続関数（定数関数）となります。しかし、$f(x)$ はいたるところで不連続であるため、$f$ は連続関数ではありません。

(2) の命題について：

この命題も一般には正しくありません。反例を挙げます。

関数 $f(x) = 0$ （定数関数）とします。

関数 $g(x)$ を

$$$$

g(x) = \begin{cases}

0 & (x=0) \\

1 & (x \ne 0)

\end{cases}

$$$$

で定義します。

すると、$g(f(x)) = g(0) = 0$ となり、$g \circ f$ は連続関数（定数関数）となります。しかし、$g(x)$ は $x=0$ で不連続であるため、$g$ は連続関数ではありません。

3. 最終的な答え

(1) $g \circ f$ が連続関数ならば、$f$ も連続関数である。：偽。反例は、$f(x) = \begin{cases} 0 & (x \in \mathbb{Q}) \\ 1 & (x \notin \mathbb{Q}) \end{cases}$ , $g(x) = \begin{cases} c & (x=0) \\ c & (x=1) \\ 0 & (x \ne 0, x\ne 1) \end{cases}$

(2) $g \circ f$ が連続関数ならば、$g$ も連続関数である。：偽。反例は、$f(x) = 0$ , $g(x) = \begin{cases} 0 & (x=0) \\ 1 & (x \ne 0) \end{cases}$