2重積分 $\iint_D (x^2+2xy+y^2) dxdy$ を、領域 $D: -1 \le x \le 1, 2 \le y \le 3$ で求めます。

1. 問題の内容

2重積分 $\iint_D (x^2+2xy+y^2) dxdy$ を、領域 $D: -1 \le x \le 1, 2 \le y \le 3$ で求めます。

2. 解き方の手順

まず、$x$ で積分し、次に $y$ で積分します。

被積分関数を整理すると $(x^2+2xy+y^2) = (x+y)^2$ となります。

$x$ に関する積分は、

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\int_{-1}^{1} (x+y)^2 dx = \int_{-1}^{1} (x^2 + 2xy + y^2) dx = \left[\frac{x^3}{3} + x^2y + xy^2\right]_{-1}^{1}

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= \left(\frac{1}{3} + y + y^2\right) - \left(-\frac{1}{3} + y - y^2\right) = \frac{2}{3} + 2y^2

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次に、$y$ に関する積分は、

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\int_{2}^{3} \left(\frac{2}{3} + 2y^2\right) dy = \left[\frac{2}{3}y + \frac{2}{3}y^3\right]_{2}^{3}

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= \left(\frac{2}{3}(3) + \frac{2}{3}(3^3)\right) - \left(\frac{2}{3}(2) + \frac{2}{3}(2^3)\right) = \left(2 + 18\right) - \left(\frac{4}{3} + \frac{16}{3}\right)

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= 20 - \frac{20}{3} = \frac{60 - 20}{3} = \frac{40}{3}

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3. 最終的な答え

$\frac{40}{3}$