関数 $f(x)$ が以下のように定義されています。 $f(x) = \begin{cases} \frac{x}{2} + x^2 \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$ 以下の4つの問いに答えます。 (1) $f(x)$ は $x=0$ で微分可能であることを示し、$f'(0)$ を求めよ。 (2) $x_n = \frac{2}{\pi(2n-1)}$ ($n = 1, 2, \dots$) とする。$f(x_n)$ を求めよ。 (3) $f(x_{2m+1}) > f(x_{2m})$ ($m = 1, 2, \dots$) を示せ。 (4) どのような $\delta > 0$ をとっても、$f(x)$ は $(0, \delta)$ では単調増加ではないことを示せ。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ が以下のように定義されています。

$f(x) = \begin{cases}

\frac{x}{2} + x^2 \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\

0, & x = 0

\end{cases}$

以下の4つの問いに答えます。

(1) $f(x)$ は $x=0$ で微分可能であることを示し、$f'(0)$ を求めよ。

(2) $x_n = \frac{2}{\pi(2n-1)}$ ($n = 1, 2, \dots$) とする。$f(x_n)$ を求めよ。

(3) $f(x_{2m+1}) > f(x_{2m})$ ($m = 1, 2, \dots$) を示せ。

(4) どのような $\delta > 0$ をとっても、$f(x)$ は $(0, \delta)$ では単調増加ではないことを示せ。

2. 解き方の手順

(1) $f(x)$ が $x=0$ で微分可能であるかを調べるために、微分係数の定義に従って考えます。

$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - 0}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{h}{2} + h^2 \sin \frac{1}{h}}{h} = \lim_{h \to 0} (\frac{1}{2} + h \sin \frac{1}{h})$

ここで、$-1 \le \sin \frac{1}{h} \le 1$ であるため、$-|h| \le h \sin \frac{1}{h} \le |h|$ となります。

$\lim_{h \to 0} h \sin \frac{1}{h} = 0$ となり、$f'(0) = \frac{1}{2}$ となります。

したがって、$f(x)$ は $x=0$ で微分可能であり、$f'(0) = \frac{1}{2}$ です。

(2) $x_n = \frac{2}{\pi(2n-1)}$ のとき、$\frac{1}{x_n} = \frac{\pi(2n-1)}{2}$ となります。

$f(x_n) = \frac{x_n}{2} + x_n^2 \sin \frac{1}{x_n} = \frac{x_n}{2} + x_n^2 \sin \frac{\pi(2n-1)}{2}$

$\sin \frac{\pi(2n-1)}{2} = \sin (\pi n - \frac{\pi}{2}) = (-1)^{n-1} \sin (-\frac{\pi}{2}) = (-1)^n (-1) = (-1)^{n+1}$

したがって、$f(x_n) = \frac{x_n}{2} + (-1)^{n+1} x_n^2 = \frac{1}{\pi(2n-1)} + (-1)^{n+1} \frac{4}{\pi^2(2n-1)^2}$

(3) $f(x_{2m+1}) = \frac{1}{\pi(4m+1)} + \frac{4}{\pi^2(4m+1)^2}$

$f(x_{2m}) = \frac{1}{\pi(4m-1)} - \frac{4}{\pi^2(4m-1)^2}$

$f(x_{2m+1}) > f(x_{2m})$ を示すには、$f(x_{2m+1}) - f(x_{2m}) > 0$ を示せばよいです。

$f(x_{2m+1}) - f(x_{2m}) = \frac{1}{\pi(4m+1)} + \frac{4}{\pi^2(4m+1)^2} - (\frac{1}{\pi(4m-1)} - \frac{4}{\pi^2(4m-1)^2}) = \frac{1}{\pi}(\frac{1}{4m+1} - \frac{1}{4m-1}) + \frac{4}{\pi^2}(\frac{1}{(4m+1)^2} + \frac{1}{(4m-1)^2})$

$= \frac{1}{\pi} \frac{(4m-1)-(4m+1)}{(4m+1)(4m-1)} + \frac{4}{\pi^2} \frac{(4m-1)^2 + (4m+1)^2}{(4m+1)^2(4m-1)^2} = \frac{-2}{\pi(16m^2-1)} + \frac{4}{\pi^2} \frac{16m^2-8m+1+16m^2+8m+1}{(16m^2-1)^2} = \frac{-2}{\pi(16m^2-1)} + \frac{4}{\pi^2} \frac{32m^2+2}{(16m^2-1)^2} = \frac{-2\pi(16m^2-1)+4(32m^2+2)}{\pi^2(16m^2-1)^2} = \frac{-32\pi m^2+2\pi+128m^2+8}{\pi^2(16m^2-1)^2}$

$128m^2+8 > 32\pi m^2 - 2\pi$ を示せばよい。これは、$128+8/m^2 > 32\pi - 2\pi/m^2$ を示せばよいので、$m$ が大きいほど明らか。$m=1$のとき、$136 > 30\pi \approx 94.24$ なので、$f(x_{2m+1}) > f(x_{2m})$ は成立します。

(4) $f'(x) = \frac{1}{2} + 2x \sin \frac{1}{x} + x^2 \cos \frac{1}{x} (-\frac{1}{x^2}) = \frac{1}{2} + 2x \sin \frac{1}{x} - \cos \frac{1}{x}$

$x$ が小さいとき、$\cos \frac{1}{x}$ の値は $[-1, 1]$ の範囲で振動します。したがって、$f'(x)$ も振動します。

例えば、$x = \frac{1}{2n\pi}$ ($n$ は十分大きい整数) とすると、$\cos(2n\pi) = 1$ なので、$f'(\frac{1}{2n\pi}) = \frac{1}{2} + \frac{2}{2n\pi} \sin (2n\pi) - \cos(2n\pi) = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2} < 0$

一方、$x = \frac{1}{(2n+1)\pi}$ ($n$ は十分大きい整数) とすると、$\cos((2n+1)\pi) = -1$ なので、$f'(\frac{1}{(2n+1)\pi}) = \frac{1}{2} + \frac{2}{(2n+1)\pi} \sin ((2n+1)\pi) - \cos((2n+1)\pi) = \frac{1}{2} - (-1) = \frac{3}{2} > 0$

したがって、どのような $\delta > 0$ を取っても、$f(x)$ は $(0, \delta)$ で単調増加ではありません。

3. 最終的な答え

(1) $f(x)$ は $x=0$ で微分可能であり、$f'(0) = \frac{1}{2}$

(2) $f(x_n) = \frac{1}{\pi(2n-1)} + (-1)^{n+1} \frac{4}{\pi^2(2n-1)^2}$

(3) $f(x_{2m+1}) > f(x_{2m})$ が成立する

(4) どのような $\delta > 0$ を取っても、$f(x)$ は $(0, \delta)$ で単調増加ではない