与えられた関数 $z$ に対して、それぞれの変数に関する偏微分 $\frac{\partial z}{\partial x}$ と $\frac{\partial z}{\partial y}$ を求める。関数は以下の通り。 (c) $z = \log(xy)$ (d) $z = \cos(-x^3 y^2 + y)$ (e) $z = \tan(\frac{x}{y})$

1. 問題の内容

与えられた関数 $z$ に対して、それぞれの変数に関する偏微分 $\frac{\partial z}{\partial x}$ と $\frac{\partial z}{\partial y}$ を求める。関数は以下の通り。

(c) $z = \log(xy)$

(d) $z = \cos(-x^3 y^2 + y)$

(e) $z = \tan(\frac{x}{y})$

2. 解き方の手順

(c) $z = \log(xy)$ の場合：

まず、偏微分$\frac{\partial z}{\partial x}$を計算する。

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (\log(xy))$

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{xy} \cdot \frac{\partial}{\partial x} (xy)$

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{xy} \cdot y = \frac{1}{x}$

次に、偏微分$\frac{\partial z}{\partial y}$を計算する。

$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (\log(xy))$

$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{xy} \cdot \frac{\partial}{\partial y} (xy)$

$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{xy} \cdot x = \frac{1}{y}$

(d) $z = \cos(-x^3 y^2 + y)$ の場合：

まず、偏微分$\frac{\partial z}{\partial x}$を計算する。

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (\cos(-x^3 y^2 + y))$

$\frac{\partial z}{\partial x} = -\sin(-x^3 y^2 + y) \cdot \frac{\partial}{\partial x} (-x^3 y^2 + y)$

$\frac{\partial z}{\partial x} = -\sin(-x^3 y^2 + y) \cdot (-3x^2 y^2) = 3x^2 y^2 \sin(-x^3 y^2 + y)$

次に、偏微分$\frac{\partial z}{\partial y}$を計算する。

$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (\cos(-x^3 y^2 + y))$

$\frac{\partial z}{\partial y} = -\sin(-x^3 y^2 + y) \cdot \frac{\partial}{\partial y} (-x^3 y^2 + y)$

$\frac{\partial z}{\partial y} = -\sin(-x^3 y^2 + y) \cdot (-2x^3 y + 1) = (2x^3 y - 1) \sin(-x^3 y^2 + y)$

(e) $z = \tan(\frac{x}{y})$ の場合：

まず、偏微分$\frac{\partial z}{\partial x}$を計算する。

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (\tan(\frac{x}{y}))$

$\frac{\partial z}{\partial x} = \sec^2(\frac{x}{y}) \cdot \frac{\partial}{\partial x} (\frac{x}{y})$

$\frac{\partial z}{\partial x} = \sec^2(\frac{x}{y}) \cdot \frac{1}{y} = \frac{1}{y} \sec^2(\frac{x}{y})$

次に、偏微分$\frac{\partial z}{\partial y}$を計算する。

$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (\tan(\frac{x}{y}))$

$\frac{\partial z}{\partial y} = \sec^2(\frac{x}{y}) \cdot \frac{\partial}{\partial y} (\frac{x}{y})$

$\frac{\partial z}{\partial y} = \sec^2(\frac{x}{y}) \cdot (-\frac{x}{y^2}) = -\frac{x}{y^2} \sec^2(\frac{x}{y})$

3. 最終的な答え

(c) $z = \log(xy)$:

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{x}$

$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{y}$

(d) $z = \cos(-x^3 y^2 + y)$:

$\frac{\partial z}{\partial x} = 3x^2 y^2 \sin(-x^3 y^2 + y)$

$\frac{\partial z}{\partial y} = (2x^3 y - 1) \sin(-x^3 y^2 + y)$

(e) $z = \tan(\frac{x}{y})$:

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{y} \sec^2(\frac{x}{y})$

$\frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{x}{y^2} \sec^2(\frac{x}{y})$