球の表面積 $S$ が毎秒 $32\pi \text{ cm}^2$ の割合で増加しているとき、半径 $r$ が $\sqrt{2} \text{ cm}$ となった瞬間の半径の増加速度 $\frac{dr}{dt}$ と、体積 $V$ の増加速度 $\frac{dV}{dt}$ を求めます。

1. 問題の内容

球の表面積 $S$ が毎秒 $32\pi \text{ cm}^2$ の割合で増加しているとき、半径 $r$ が $\sqrt{2} \text{ cm}$ となった瞬間の半径の増加速度 $\frac{dr}{dt}$ と、体積 $V$ の増加速度 $\frac{dV}{dt}$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 球の表面積 $S$ は $S = 4\pi r^2$ で表されます。

$S$ を時間 $t$ で微分すると、$\frac{dS}{dt} = 8\pi r \frac{dr}{dt}$ となります。

(2) 問題文より、$\frac{dS}{dt} = 32\pi$ であり、$r = \sqrt{2}$ のときを考えているので、

$32\pi = 8\pi \sqrt{2} \frac{dr}{dt}$

$\frac{dr}{dt} = \frac{32\pi}{8\pi \sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$

(3) 球の体積 $V$ は $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ で表されます。

$V$ を時間 $t$ で微分すると、$\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2 \frac{dr}{dt}$ となります。

(4) $r = \sqrt{2}$ のとき、$\frac{dr}{dt} = 2\sqrt{2}$ なので、

$\frac{dV}{dt} = 4\pi (\sqrt{2})^2 (2\sqrt{2}) = 4\pi (2) (2\sqrt{2}) = 16\sqrt{2} \pi$

3. 最終的な答え

半径の増加速度 $\frac{dr}{dt}$ は、$2\sqrt{2}$ です。

体積の増加速度 $\frac{dV}{dt}$ は、$16\sqrt{2} \pi$ です。