関数 $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ が $f(x) = 1$ で定義されるとき、$f(x)$ が $\mathbb{R}$ 上で微分可能であることを証明してください。

1. 問題の内容

関数 $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ が $f(x) = 1$ で定義されるとき、$f(x)$ が $\mathbb{R}$ 上で微分可能であることを証明してください。

2. 解き方の手順

関数 $f(x)$ が $\mathbb{R}$ 上で微分可能であるためには、任意の実数 $a$ に対して、極限

$\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$

が存在する必要があります。

この極限が存在する場合、その値を $f'(a)$ と書き、$f(x)$ の $x = a$ における微分係数と呼びます。

この問題では、$f(x) = 1$ ですから、$f(a+h) = 1$ かつ $f(a) = 1$ です。したがって、

$\frac{f(a+h) - f(a)}{h} = \frac{1 - 1}{h} = \frac{0}{h} = 0$

$h \neq 0$ に対して成り立ちます。

したがって、

$\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} = \lim_{h \to 0} 0 = 0$

となります。

この極限は任意の実数 $a$ に対して存在し、その値は $0$ です。

したがって、$f(x)$ は $\mathbb{R}$ 上で微分可能であり、$f'(x) = 0$ です。

3. 最終的な答え

$f(x) = 1$ は $\mathbb{R}$ 上で微分可能であり、$f'(x) = 0$ です。