数列の第 $n$ 項が $\frac{1+2+3+\cdots+n}{n+2}-\frac{n}{2}$ で与えられたとき、この数列の極限を求める問題です。

1. 問題の内容

数列の第 $n$ 項が $\frac{1+2+3+\cdots+n}{n+2}-\frac{n}{2}$ で与えられたとき、この数列の極限を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、数列の第 $n$ 項 $a_n$ を整理します。

分子の和は、等差数列の和の公式から $1+2+3+\cdots+n = \frac{n(n+1)}{2}$ となります。

したがって、

$a_n = \frac{\frac{n(n+1)}{2}}{n+2} - \frac{n}{2}$

$a_n = \frac{n(n+1)}{2(n+2)} - \frac{n}{2}$

次に、通分してまとめます。

$a_n = \frac{n(n+1) - n(n+2)}{2(n+2)}$

$a_n = \frac{n^2 + n - n^2 - 2n}{2(n+2)}$

$a_n = \frac{-n}{2(n+2)}$

ここで、極限を求めるために、分子と分母を $n$ で割ります。

$a_n = \frac{-1}{2(1+\frac{2}{n})}$

$n \to \infty$ のとき、$\frac{2}{n} \to 0$ となるので、

$\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} \frac{-1}{2(1+\frac{2}{n})} = \frac{-1}{2(1+0)} = -\frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{2}$