与えられた4つの関数のグラフを描く問題です。 (1) $y = \sqrt{2x+1}$ (2) $y = x + \frac{1}{x} \quad (x \neq 0)$ (3) $y = x - \frac{1}{x} \quad (x \neq 0)$ (4) $y = \frac{x}{|x|} \quad (x \neq 0)$

1. 問題の内容

与えられた4つの関数のグラフを描く問題です。

(1) $y = \sqrt{2x+1}$

(2) $y = x + \frac{1}{x} \quad (x \neq 0)$

(3) $y = x - \frac{1}{x} \quad (x \neq 0)$

(4) $y = \frac{x}{|x|} \quad (x \neq 0)$

2. 解き方の手順

(1) $y = \sqrt{2x+1}$

ルートの中身は0以上である必要があるので、$2x+1 \geq 0$ より $x \geq -\frac{1}{2}$ 。

$x = -\frac{1}{2}$ のとき、$y=0$。

$x=0$ のとき、$y=1$。

$x$ が大きくなるにつれて、$y$ も大きくなる。

これは $y=\sqrt{x}$ のグラフを $x$ 軸方向に $-\frac{1}{2}$ だけ平行移動し、x軸方向に1/2倍に縮小したグラフである。

(2) $y = x + \frac{1}{x} \quad (x \neq 0)$

$x>0$ のとき、相加平均と相乗平均の関係より、$x+\frac{1}{x} \geq 2\sqrt{x \cdot \frac{1}{x}} = 2$。

等号成立は $x=1$ のとき。

$x<0$ のとき、$x+\frac{1}{x} \leq -2$。

等号成立は $x=-1$ のとき。

$x \to 0^+$ のとき $y \to +\infty$

$x \to 0^-$ のとき $y \to -\infty$

$x \to \pm \infty$ のとき $y \to x$

(3) $y = x - \frac{1}{x} \quad (x \neq 0)$

$x>0$ のとき、$y$ は $x$ が大きくなるにつれて大きくなる。

$x \to 0^+$ のとき、$y \to -\infty$

$x \to +\infty$ のとき、$y \to x$

$x<0$ のとき、$y$ は $x$ が小さくなるにつれて小さくなる。

$x \to 0^-$ のとき、$y \to +\infty$

$x \to -\infty$ のとき、$y \to x$

(4) $y = \frac{x}{|x|} \quad (x \neq 0)$

$x>0$ のとき、$|x| = x$ なので、$y = \frac{x}{x} = 1$。

$x<0$ のとき、$|x| = -x$ なので、$y = \frac{x}{-x} = -1$。

したがって、$x>0$ で $y=1$、$x<0$ で $y=-1$。

3. 最終的な答え

グラフは省略します。各関数について、上記の手順でグラフの概形を把握し、描画してください。