与えられた数列の和 $\sum_{k=1}^{n} \frac{3}{(2k-1)(2k+1)}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた数列の和 $\sum_{k=1}^{n} \frac{3}{(2k-1)(2k+1)}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{3}{(2k-1)(2k+1)}$ を部分分数分解します。

$\frac{3}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{A}{2k-1} + \frac{B}{2k+1}$ とおくと、

$3 = A(2k+1) + B(2k-1)$ となります。

$k = \frac{1}{2}$ を代入すると、$3 = 2A$ より $A = \frac{3}{2}$となります。

$k = -\frac{1}{2}$ を代入すると、$3 = -2B$ より $B = -\frac{3}{2}$となります。

よって、$\frac{3}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{3}{2} \left( \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1} \right)$ となります。

したがって、

$\sum_{k=1}^{n} \frac{3}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{3}{2} \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1} \right)$

$= \frac{3}{2} \left[ \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{7} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1} \right) \right]$

これは望遠鏡和（telescoping sum）なので、

$\sum_{k=1}^{n} \frac{3}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{3}{2} \left( 1 - \frac{1}{2n+1} \right) = \frac{3}{2} \left( \frac{2n+1-1}{2n+1} \right) = \frac{3}{2} \left( \frac{2n}{2n+1} \right) = \frac{3n}{2n+1}$

3. 最終的な答え

$\frac{3n}{2n+1}$