関数 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ を $f(x) = 1$ と定義する。このとき、$f$ が実数全体 $\mathbb{R}$ 上で微分可能であることを証明する。

1. 問題の内容

関数 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ を $f(x) = 1$ と定義する。このとき、$f$ が実数全体 $\mathbb{R}$ 上で微分可能であることを証明する。

2. 解き方の手順

微分可能性を証明するためには、任意の $x \in \mathbb{R}$ において、極限

$$\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$

が存在することを示す必要がある。

$f(x) = 1$ であるため、$f(x+h) = 1$ となる。したがって、

$$\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{1 - 1}{h} = \frac{0}{h} = 0$$

$h \neq 0$ に対して。

したがって、

$$\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} 0 = 0$$

この極限は任意の $x \in \mathbb{R}$ に対して存在し、その値は0である。したがって、$f(x)$ は $\mathbb{R}$ 上で微分可能であり、その導関数は $f'(x) = 0$ である。

3. 最終的な答え

関数 $f(x) = 1$ は実数全体 $\mathbb{R}$ 上で微分可能である。