与えられた三角関数の式を計算し、その値を求めます。 (1) $(\sin\theta + \cos\theta)^2 + (\sin\theta - \cos\theta)^2$ (2) $(1-\sin\theta)(1+\sin\theta) - \frac{1}{1+\tan^2\theta}$

1. 問題の内容

与えられた三角関数の式を計算し、その値を求めます。

(1) $(\sin\theta + \cos\theta)^2 + (\sin\theta - \cos\theta)^2$

(2) $(1-\sin\theta)(1+\sin\theta) - \frac{1}{1+\tan^2\theta}$

2. 解き方の手順

(1) 式を展開し、三角関数の恒等式 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ を利用して簡略化します。

$(\sin\theta + \cos\theta)^2 + (\sin\theta - \cos\theta)^2 = (\sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta) + (\sin^2\theta - 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta)$

$= 2\sin^2\theta + 2\cos^2\theta$

$= 2(\sin^2\theta + \cos^2\theta)$

$= 2(1) = 2$

(2) 式を展開し、三角関数の恒等式 $1 + \tan^2\theta = \frac{1}{\cos^2\theta}$ を利用して簡略化します。

$(1-\sin\theta)(1+\sin\theta) - \frac{1}{1+\tan^2\theta} = (1 - \sin^2\theta) - \frac{1}{1+\tan^2\theta}$

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ より $1 - \sin^2\theta = \cos^2\theta$

また、$1 + \tan^2\theta = \frac{1}{\cos^2\theta}$ より、 $\frac{1}{1+\tan^2\theta} = \cos^2\theta$

よって、

$\cos^2\theta - \cos^2\theta = 0$

3. 最終的な答え

(1) 2

(2) 0