次の図形をx軸のまわりに回転してできる立体の体積Vを求めます。 (1) 曲線 $y = \sqrt{x}$ と直線 $y = x$ で囲まれた図形。 (2) 曲線 $y = (x-1)^2$ と直線 $y = x-1$ で囲まれた図形。 (3) 曲線 $y = x^2$ と曲線 $x = y^2$ で囲まれた図形。 (4) 曲線 $x^2 + (y-2)^2 = 1$ で囲まれた図形。

1. 問題の内容

次の図形をx軸のまわりに回転してできる立体の体積Vを求めます。

(1) 曲線 $y = \sqrt{x}$ と直線 $y = x$ で囲まれた図形。

(2) 曲線 $y = (x-1)^2$ と直線 $y = x-1$ で囲まれた図形。

(3) 曲線 $y = x^2$ と曲線 $x = y^2$ で囲まれた図形。

(4) 曲線 $x^2 + (y-2)^2 = 1$ で囲まれた図形。

2. 解き方の手順

(1)

まず、2つの曲線の交点を求めます。

$\sqrt{x} = x$

$x = x^2$

$x^2 - x = 0$

$x(x-1) = 0$

$x = 0, 1$

よって、交点は(0, 0)と(1, 1)です。

体積Vは、

$V = \pi \int_0^1 ((\sqrt{x})^2 - x^2) dx$

$V = \pi \int_0^1 (x - x^2) dx$

$V = \pi [\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3]_0^1$

$V = \pi (\frac{1}{2} - \frac{1}{3})$

$V = \pi (\frac{3 - 2}{6})$

$V = \frac{\pi}{6}$

(2)

まず、2つの曲線の交点を求めます。

$(x-1)^2 = x - 1$

$(x-1)^2 - (x-1) = 0$

$(x-1)(x-1-1) = 0$

$(x-1)(x-2) = 0$

$x = 1, 2$

よって、交点は(1, 0)と(2, 1)です。

体積Vは、

$V = \pi \int_1^2 ((x-1)^2 - (x-1)^4) dx$

ここで、$t = x-1$とおくと、$dt = dx$

$x = 1$のとき、$t = 0$

$x = 2$のとき、$t = 1$

$V = \pi \int_0^1 (t^2 - t^4) dt$

$V = \pi [\frac{1}{3}t^3 - \frac{1}{5}t^5]_0^1$

$V = \pi (\frac{1}{3} - \frac{1}{5})$

$V = \pi (\frac{5 - 3}{15})$

$V = \frac{2\pi}{15}$

(3)

まず、2つの曲線の交点を求めます。

$y = x^2$と$x = y^2$より、$y = \sqrt{x}$なので、$x^2 = \sqrt{x}$

$x^4 = x$

$x^4 - x = 0$

$x(x^3 - 1) = 0$

$x = 0, 1$

よって、交点は(0, 0)と(1, 1)です。

体積Vは、

$V = \pi \int_0^1 ((\sqrt{x})^2 - (x^2)^2) dx$

$V = \pi \int_0^1 (x - x^4) dx$

$V = \pi [\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{5}x^5]_0^1$

$V = \pi (\frac{1}{2} - \frac{1}{5})$

$V = \pi (\frac{5 - 2}{10})$

$V = \frac{3\pi}{10}$

(4)

これは、中心が(0, 2)、半径が1の円です。x軸を中心に回転させると、トーラスができます。

体積は、$V = 2\pi^2 Rr^2$で与えられます。

ここで、$R = 2$ (回転軸からの円の中心までの距離)

$r = 1$ (円の半径)

$V = 2\pi^2 (2)(1)^2$

$V = 4\pi^2$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\pi}{6}$

(2) $\frac{2\pi}{15}$

(3) $\frac{3\pi}{10}$

(4) $4\pi^2$