微分方程式 $y' = (x+y-1)^2$ を、$x+y-1 = u$ という変数変換を用いて解き、初期条件 $y(0)=1$ を満たす特殊解を求める。

1. 問題の内容

微分方程式 $y' = (x+y-1)^2$ を、$x+y-1 = u$ という変数変換を用いて解き、初期条件 $y(0)=1$ を満たす特殊解を求める。

2. 解き方の手順

ステップ1: 与えられた変数変換 $x+y-1 = u$ を用いる。

この式を $x$ で微分すると、$1 + y' = u'$、つまり $y' = u' - 1$ となる。

これを微分方程式に代入する。

$u' - 1 = u^2$

$u' = u^2 + 1$

ステップ2: 変数分離を行う。

$\frac{du}{dx} = u^2 + 1$

$\frac{du}{u^2 + 1} = dx$

ステップ3: 両辺を積分する。

$\int \frac{du}{u^2 + 1} = \int dx$

$\arctan(u) = x + C$ (ここで、$C$ は積分定数)

ステップ4: $u$ を $x$ と $y$ に戻す。

$\arctan(x+y-1) = x + C$

$x+y-1 = \tan(x+C)$

$y = \tan(x+C) - x + 1$

ステップ5: 初期条件 $y(0) = 1$ を用いて積分定数 $C$ を求める。

$1 = \tan(0+C) - 0 + 1$

$\tan(C) = 0$

$C = 0$

ステップ6: 積分定数 $C=0$ を代入して、特殊解を求める。

$y = \tan(x) - x + 1$

3. 最終的な答え

$y = \tan(x) - x + 1$