与えられた5つの関数を微分する問題です。 (1) $y = (2x-3)^6$ (2) $y = (\frac{x^3}{2x+5})^4$ (3) $y = \sqrt[3]{x^3+4x+1}$ (4) $y = \frac{2x+1}{\sqrt{3x+1}}$ (5) $y = \sqrt[4]{x^7}$

1. 問題の内容

与えられた5つの関数を微分する問題です。

(1) $y = (2x-3)^6$

(2) $y = (\frac{x^3}{2x+5})^4$

(3) $y = \sqrt[3]{x^3+4x+1}$

(4) $y = \frac{2x+1}{\sqrt{3x+1}}$

(5) $y = \sqrt[4]{x^7}$

2. 解き方の手順

(1) 合成関数の微分を利用します。$u = 2x-3$ とおくと、$y = u^6$。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ を計算します。

$\frac{dy}{du} = 6u^5$

$\frac{du}{dx} = 2$

よって、

$\frac{dy}{dx} = 6(2x-3)^5 \cdot 2 = 12(2x-3)^5$

(2) 合成関数の微分と商の微分を利用します。$u = \frac{x^3}{2x+5}$ とおくと、$y = u^4$。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ を計算します。

$\frac{dy}{du} = 4u^3$

$\frac{du}{dx} = \frac{3x^2(2x+5) - x^3(2)}{(2x+5)^2} = \frac{6x^3+15x^2-2x^3}{(2x+5)^2} = \frac{4x^3+15x^2}{(2x+5)^2}$

よって、

$\frac{dy}{dx} = 4(\frac{x^3}{2x+5})^3 \cdot \frac{4x^3+15x^2}{(2x+5)^2} = \frac{4x^9(4x^3+15x^2)}{(2x+5)^5} = \frac{4x^{11}(4x+15)}{(2x+5)^5}$

(3) 合成関数の微分を利用します。$y = (x^3+4x+1)^{1/3}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3}(x^3+4x+1)^{-2/3} \cdot (3x^2+4) = \frac{3x^2+4}{3(x^3+4x+1)^{2/3}}$

$= \frac{3x^2+4}{3\sqrt[3]{(x^3+4x+1)^2}}$

(4) 商の微分と合成関数の微分を利用します。$y = \frac{2x+1}{\sqrt{3x+1}} = \frac{2x+1}{(3x+1)^{1/2}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{2\sqrt{3x+1} - (2x+1) \cdot \frac{1}{2}(3x+1)^{-1/2} \cdot 3}{3x+1} = \frac{2\sqrt{3x+1} - \frac{3(2x+1)}{2\sqrt{3x+1}}}{3x+1}$

$= \frac{4(3x+1) - 3(2x+1)}{2(3x+1)^{3/2}} = \frac{12x+4-6x-3}{2(3x+1)^{3/2}} = \frac{6x+1}{2(3x+1)^{3/2}}$

(5) $y = \sqrt[4]{x^7} = x^{7/4}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{7}{4}x^{\frac{7}{4}-1} = \frac{7}{4}x^{\frac{3}{4}} = \frac{7}{4}\sqrt[4]{x^3}$

3. 最終的な答え

(1) $12(2x-3)^5$

(2) $\frac{4x^{11}(4x+15)}{(2x+5)^5}$

(3) $\frac{3x^2+4}{3\sqrt[3]{(x^3+4x+1)^2}}$

(4) $\frac{6x+1}{2(3x+1)^{3/2}}$

(5) $\frac{7}{4}\sqrt[4]{x^3}$