与えられた関数を微分する問題です。具体的には、以下の関数の導関数を求めます。 (1) $y = e^{3x+2}$ (2) $y = e^{x^2}$ (5) $y = e^{x^2+x+1}$ (6) $y = 5^{3x^3+2x+1}$

1. 問題の内容

与えられた関数を微分する問題です。具体的には、以下の関数の導関数を求めます。

(1) $y = e^{3x+2}$

(2) $y = e^{x^2}$

(5) $y = e^{x^2+x+1}$

(6) $y = 5^{3x^3+2x+1}$

2. 解き方の手順

(1) $y = e^{3x+2}$ の場合：

合成関数の微分法を使います。$u = 3x+2$ とおくと、$y = e^u$ となります。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = e^u$

$\frac{du}{dx} = 3$

よって、

$\frac{dy}{dx} = e^u \cdot 3 = 3e^{3x+2}$

(2) $y = e^{x^2}$ の場合：

合成関数の微分法を使います。$u = x^2$ とおくと、$y = e^u$ となります。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = e^u$

$\frac{du}{dx} = 2x$

よって、

$\frac{dy}{dx} = e^u \cdot 2x = 2xe^{x^2}$

(5) $y = e^{x^2+x+1}$ の場合：

合成関数の微分法を使います。$u = x^2+x+1$ とおくと、$y = e^u$ となります。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = e^u$

$\frac{du}{dx} = 2x+1$

よって、

$\frac{dy}{dx} = e^u \cdot (2x+1) = (2x+1)e^{x^2+x+1}$

(6) $y = 5^{3x^3+2x+1}$ の場合：

$y = a^x$ の導関数は $y' = a^x \ln a$ であることを利用します。

$u = 3x^3+2x+1$ とおくと、$y = 5^u$ となります。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = 5^u \ln 5$

$\frac{du}{dx} = 9x^2+2$

よって、

$\frac{dy}{dx} = 5^u \ln 5 \cdot (9x^2+2) = (9x^2+2)5^{3x^3+2x+1} \ln 5$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = 3e^{3x+2}$

(2) $\frac{dy}{dx} = 2xe^{x^2}$

(5) $\frac{dy}{dx} = (2x+1)e^{x^2+x+1}$

(6) $\frac{dy}{dx} = (9x^2+2)5^{3x^3+2x+1} \ln 5$