関数 $G(x) = \int_{0}^{x} (x-t)e^t dt$ について、$G'(x)$ と $G''(x)$ を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $G(x) = \int_{0}^{x} (x-t)e^t dt$ について、$G'(x)$ と $G''(x)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$G(x)$ を計算します。積分を計算する前に、$G(x)$ を以下のように変形します。

$G(x) = \int_{0}^{x} (x-t)e^t dt = \int_{0}^{x} xe^t dt - \int_{0}^{x} te^t dt = x\int_{0}^{x} e^t dt - \int_{0}^{x} te^t dt$

ここで、$I_1 = \int_{0}^{x} e^t dt$ と $I_2 = \int_{0}^{x} te^t dt$ とおきます。

$I_1$ は簡単に計算できます。

$I_1 = \int_{0}^{x} e^t dt = [e^t]_{0}^{x} = e^x - e^0 = e^x - 1$

$I_2$ は部分積分を使って計算します。

$u = t$, $dv = e^t dt$ とすると、$du = dt$, $v = e^t$ なので、

$I_2 = \int_{0}^{x} te^t dt = [te^t]_{0}^{x} - \int_{0}^{x} e^t dt = xe^x - 0 - (e^x - 1) = xe^x - e^x + 1$

したがって、$G(x) = x(e^x - 1) - (xe^x - e^x + 1) = xe^x - x - xe^x + e^x - 1 = e^x - x - 1$

次に、$G'(x)$ を計算します。

$G'(x) = \frac{d}{dx}(e^x - x - 1) = e^x - 1$

最後に、$G''(x)$ を計算します。

$G''(x) = \frac{d}{dx}(e^x - 1) = e^x$

3. 最終的な答え

$G'(x) = e^x - 1$

$G''(x) = e^x$