$u = x^2$, $dv = e^x dx$ とすると、$du = 2x dx$, $v = e^x$ となる。 $\int x^2 e^x dx = x^2 e^x - \int 2x e^x dx = x^2 e^x - 2\int x e^x dx$

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1. 問題の内容

問題3：部分積分法を2回利用して、不定積分 $\int x^2 e^x dx$ を求めよ。ただし、積分定数は $C$ とする。

問題4：部分積分法を利用して、定積分 $\int_{-1}^{1} (x+1)^3 (x-1) dx$ を求めよ。

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2. 解き方の手順

### 問題3

部分積分法を2回適用する。部分積分の公式は $\int u dv = uv - \int v du$ である。

1. 1回目の部分積分:

$u = x^2$, $dv = e^x dx$ とすると、$du = 2x dx$, $v = e^x$ となる。

$\int x^2 e^x dx = x^2 e^x - \int 2x e^x dx = x^2 e^x - 2\int x e^x dx$

2. 2回目の部分積分:

$\int x e^x dx$ を計算するために、$u = x$, $dv = e^x dx$ とすると、$du = dx$, $v = e^x$ となる。

$\int x e^x dx = x e^x - \int e^x dx = x e^x - e^x + C_1$

3. 結果を代入:

$\int x^2 e^x dx = x^2 e^x - 2(x e^x - e^x) + C$

$= x^2 e^x - 2x e^x + 2e^x + C$

$= e^x (x^2 - 2x + 2) + C$

### 問題4

1. 式を展開する：

$(x+1)^3 (x-1) = (x^3 + 3x^2 + 3x + 1)(x-1)$

$= x^4 + 3x^3 + 3x^2 + x - x^3 - 3x^2 - 3x - 1$

$= x^4 + 2x^3 - 2x - 1$

2. 積分を実行する：

$\int_{-1}^{1} (x^4 + 2x^3 - 2x - 1) dx$

$= \left[ \frac{x^5}{5} + \frac{2x^4}{4} - x^2 - x \right]_{-1}^{1}$

$= \left[ \frac{x^5}{5} + \frac{x^4}{2} - x^2 - x \right]_{-1}^{1}$

$= \left( \frac{1}{5} + \frac{1}{2} - 1 - 1 \right) - \left( \frac{-1}{5} + \frac{1}{2} - 1 + 1 \right)$

$= \frac{1}{5} + \frac{1}{2} - 2 + \frac{1}{5} - \frac{1}{2} + 1 - 1$

$= \frac{2}{5} - 2 = \frac{2 - 10}{5} = -\frac{8}{5}$

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3. 最終的な答え

問題3： $\int x^2 e^x dx = e^x (x^2 - 2x + 2) + C$

問題4： $\int_{-1}^{1} (x+1)^3 (x-1) dx = -\frac{8}{5}$