(1) 定積分 $\int_0^x \sin t dt$ を計算してください。 (2) 定積分 $\int_1^x t \log t dt$ を計算してください。

1. 問題の内容

(1) 定積分 $\int_0^x \sin t dt$ を計算してください。

(2) 定積分 $\int_1^x t \log t dt$ を計算してください。

2. 解き方の手順

(1)

$\sin t$ の不定積分は $-\cos t$ です。したがって、

$$$$

\int_0^x \sin t dt = [-\cos t]_0^x = -\cos x - (-\cos 0) = -\cos x + 1 = 1 - \cos x

$$$$

(2)

$\int_1^x t \log t dt$ は部分積分で計算します。

$u = \log t$, $dv = t dt$ とすると、$du = \frac{1}{t} dt$, $v = \frac{1}{2}t^2$ となります。部分積分の公式 $\int u dv = uv - \int v du$ より、

$$$$

\int_1^x t \log t dt = \left[ \frac{1}{2}t^2 \log t \right]_1^x - \int_1^x \frac{1}{2}t^2 \cdot \frac{1}{t} dt = \frac{1}{2}x^2 \log x - \frac{1}{2} \cdot 1^2 \log 1 - \frac{1}{2} \int_1^x t dt

$$$$

$\log 1 = 0$ であるので、

$$$$

\int_1^x t \log t dt = \frac{1}{2}x^2 \log x - \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{2}t^2 \right]_1^x = \frac{1}{2}x^2 \log x - \frac{1}{4}x^2 + \frac{1}{4}

$$$$

$$$$

\int_1^x t \log t dt = \frac{1}{2}x^2 \log x - \frac{1}{4}x^2 + \frac{1}{4}

$$$$

3. 最終的な答え

(1) $1 - \cos x$

(2) $\frac{1}{2}x^2 \log x - \frac{1}{4}x^2 + \frac{1}{4}$