次の関数を $x$ で微分せよ。ただし、(2)では $x>0$ とする。 (1) $\int_{0}^{x} \sin t dt$ (2) $\int_{1}^{x} t \log t dt$

1. 問題の内容

次の関数を $x$ で微分せよ。ただし、(2)では $x>0$ とする。

(1) $\int_{0}^{x} \sin t dt$

(2) $\int_{1}^{x} t \log t dt$

2. 解き方の手順

(1) 微分積分学の基本定理より、$\frac{d}{dx} \int_{a}^{x} f(t) dt = f(x)$ である。

したがって、

$$\frac{d}{dx} \int_{0}^{x} \sin t dt = \sin x$$

(2) 微分積分学の基本定理より、$\frac{d}{dx} \int_{a}^{x} f(t) dt = f(x)$ である。

したがって、

$$\frac{d}{dx} \int_{1}^{x} t \log t dt = x \log x$$

3. 最終的な答え

(1) $\sin x$

(2) $x \log x$