与えられた6つの関数をそれぞれ微分する問題です。 (1) $y = e^{3x+2}$ (2) $y = e^{x^2}$ (3) $y = e^{\frac{-1}{1-x^2}}$ (4) $y = xe^{-2x}$ (5) $y = e^{x^2+x+1}$ (6) $y = 5^{3x^3+2x+1}$

## 微分問題の解答

1. 問題の内容

与えられた6つの関数をそれぞれ微分する問題です。

(1) $y = e^{3x+2}$

(2) $y = e^{x^2}$

(3) $y = e^{\frac{-1}{1-x^2}}$

(4) $y = xe^{-2x}$

(5) $y = e^{x^2+x+1}$

(6) $y = 5^{3x^3+2x+1}$

2. 解き方の手順

(1) $y = e^{3x+2}$ の微分

合成関数の微分公式を使います。

$y' = (e^{3x+2})' = e^{3x+2} \cdot (3x+2)' = e^{3x+2} \cdot 3 = 3e^{3x+2}$

(2) $y = e^{x^2}$ の微分

合成関数の微分公式を使います。

$y' = (e^{x^2})' = e^{x^2} \cdot (x^2)' = e^{x^2} \cdot 2x = 2xe^{x^2}$

(3) $y = e^{\frac{-1}{1-x^2}}$ の微分

合成関数の微分公式を使います。まず、$\frac{-1}{1-x^2} = (x^2-1)^{-1}$　ですので、その微分は

$((x^2-1)^{-1})' = -(x^2-1)^{-2} \cdot (2x) = \frac{2x}{(1-x^2)^2}$

$y' = (e^{\frac{-1}{1-x^2}})' = e^{\frac{-1}{1-x^2}} \cdot (\frac{-1}{1-x^2})' = e^{\frac{-1}{1-x^2}} \cdot \frac{2x}{(1-x^2)^2} = \frac{2xe^{\frac{-1}{1-x^2}}}{(1-x^2)^2}$

(4) $y = xe^{-2x}$ の微分

積の微分公式と合成関数の微分公式を使います。

$y' = (xe^{-2x})' = x' \cdot e^{-2x} + x \cdot (e^{-2x})' = 1 \cdot e^{-2x} + x \cdot (e^{-2x} \cdot (-2x)') = e^{-2x} + x \cdot (e^{-2x} \cdot (-2)) = e^{-2x} - 2xe^{-2x} = e^{-2x}(1-2x)$

(5) $y = e^{x^2+x+1}$ の微分

合成関数の微分公式を使います。

$y' = (e^{x^2+x+1})' = e^{x^2+x+1} \cdot (x^2+x+1)' = e^{x^2+x+1} \cdot (2x+1) = (2x+1)e^{x^2+x+1}$

(6) $y = 5^{3x^3+2x+1}$ の微分

$a^x$ の微分は $(a^x)' = a^x \ln a$ なので、合成関数の微分公式と組み合わせると

$y' = (5^{3x^3+2x+1})' = 5^{3x^3+2x+1} \cdot \ln 5 \cdot (3x^3+2x+1)' = 5^{3x^3+2x+1} \cdot \ln 5 \cdot (9x^2+2) = (9x^2+2)\ln 5 \cdot 5^{3x^3+2x+1}$

3. 最終的な答え

(1) $y' = 3e^{3x+2}$

(2) $y' = 2xe^{x^2}$

(3) $y' = \frac{2xe^{\frac{-1}{1-x^2}}}{(1-x^2)^2}$

(4) $y' = e^{-2x}(1-2x)$

(5) $y' = (2x+1)e^{x^2+x+1}$

(6) $y' = (9x^2+2)\ln 5 \cdot 5^{3x^3+2x+1}$