与えられた6つの関数をそれぞれ微分する問題です。 (1) $y = e^{3x+2}$ (2) $y = e^{x^2}$ (3) $y = e^{\frac{-1}{1-x^2}}$ (4) $y = xe^{-2x}$ (5) $y = e^{x^2+x+1}$ (6) $y = 5^{3x^3+2x+1}$

解析学微分合成関数指数関数積の微分
2025/5/27
## 微分問題の解答

1. 問題の内容

与えられた6つの関数をそれぞれ微分する問題です。
(1) y=e3x+2y = e^{3x+2}
(2) y=ex2y = e^{x^2}
(3) y=e11x2y = e^{\frac{-1}{1-x^2}}
(4) y=xe2xy = xe^{-2x}
(5) y=ex2+x+1y = e^{x^2+x+1}
(6) y=53x3+2x+1y = 5^{3x^3+2x+1}

2. 解き方の手順

(1) y=e3x+2y = e^{3x+2} の微分
合成関数の微分公式を使います。
y=(e3x+2)=e3x+2(3x+2)=e3x+23=3e3x+2y' = (e^{3x+2})' = e^{3x+2} \cdot (3x+2)' = e^{3x+2} \cdot 3 = 3e^{3x+2}
(2) y=ex2y = e^{x^2} の微分
合成関数の微分公式を使います。
y=(ex2)=ex2(x2)=ex22x=2xex2y' = (e^{x^2})' = e^{x^2} \cdot (x^2)' = e^{x^2} \cdot 2x = 2xe^{x^2}
(3) y=e11x2y = e^{\frac{-1}{1-x^2}} の微分
合成関数の微分公式を使います。まず、11x2=(x21)1\frac{-1}{1-x^2} = (x^2-1)^{-1} ですので、その微分は
((x21)1)=(x21)2(2x)=2x(1x2)2((x^2-1)^{-1})' = -(x^2-1)^{-2} \cdot (2x) = \frac{2x}{(1-x^2)^2}
y=(e11x2)=e11x2(11x2)=e11x22x(1x2)2=2xe11x2(1x2)2y' = (e^{\frac{-1}{1-x^2}})' = e^{\frac{-1}{1-x^2}} \cdot (\frac{-1}{1-x^2})' = e^{\frac{-1}{1-x^2}} \cdot \frac{2x}{(1-x^2)^2} = \frac{2xe^{\frac{-1}{1-x^2}}}{(1-x^2)^2}
(4) y=xe2xy = xe^{-2x} の微分
積の微分公式と合成関数の微分公式を使います。
y=(xe2x)=xe2x+x(e2x)=1e2x+x(e2x(2x))=e2x+x(e2x(2))=e2x2xe2x=e2x(12x)y' = (xe^{-2x})' = x' \cdot e^{-2x} + x \cdot (e^{-2x})' = 1 \cdot e^{-2x} + x \cdot (e^{-2x} \cdot (-2x)') = e^{-2x} + x \cdot (e^{-2x} \cdot (-2)) = e^{-2x} - 2xe^{-2x} = e^{-2x}(1-2x)
(5) y=ex2+x+1y = e^{x^2+x+1} の微分
合成関数の微分公式を使います。
y=(ex2+x+1)=ex2+x+1(x2+x+1)=ex2+x+1(2x+1)=(2x+1)ex2+x+1y' = (e^{x^2+x+1})' = e^{x^2+x+1} \cdot (x^2+x+1)' = e^{x^2+x+1} \cdot (2x+1) = (2x+1)e^{x^2+x+1}
(6) y=53x3+2x+1y = 5^{3x^3+2x+1} の微分
axa^x の微分は (ax)=axlna(a^x)' = a^x \ln a なので、合成関数の微分公式と組み合わせると
y=(53x3+2x+1)=53x3+2x+1ln5(3x3+2x+1)=53x3+2x+1ln5(9x2+2)=(9x2+2)ln553x3+2x+1y' = (5^{3x^3+2x+1})' = 5^{3x^3+2x+1} \cdot \ln 5 \cdot (3x^3+2x+1)' = 5^{3x^3+2x+1} \cdot \ln 5 \cdot (9x^2+2) = (9x^2+2)\ln 5 \cdot 5^{3x^3+2x+1}

3. 最終的な答え

(1) y=3e3x+2y' = 3e^{3x+2}
(2) y=2xex2y' = 2xe^{x^2}
(3) y=2xe11x2(1x2)2y' = \frac{2xe^{\frac{-1}{1-x^2}}}{(1-x^2)^2}
(4) y=e2x(12x)y' = e^{-2x}(1-2x)
(5) y=(2x+1)ex2+x+1y' = (2x+1)e^{x^2+x+1}
(6) y=(9x2+2)ln553x3+2x+1y' = (9x^2+2)\ln 5 \cdot 5^{3x^3+2x+1}

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