与えられた不定積分 $\int (4x+3)^5 dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた不定積分 $\int (4x+3)^5 dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

置換積分を用いて解きます。

$u = 4x + 3$ と置くと、$\frac{du}{dx} = 4$ となり、$dx = \frac{1}{4}du$ となります。

したがって、

$$\int (4x+3)^5 dx = \int u^5 \frac{1}{4} du = \frac{1}{4} \int u^5 du$$

$\int u^5 du = \frac{u^6}{6} + C$ (Cは積分定数) ですから、

$$\frac{1}{4} \int u^5 du = \frac{1}{4} \cdot \frac{u^6}{6} + C = \frac{u^6}{24} + C$$

ここで、$u = 4x+3$ を代入すると、

$$\frac{(4x+3)^6}{24} + C$$

となります。

3. 最終的な答え

$\frac{(4x+3)^6}{24} + C$