与えられた不定積分 $\int (4x+3)^5 dx$ を計算します。

解析学不定積分置換積分積分
2025/5/27

1. 問題の内容

与えられた不定積分 (4x+3)5dx\int (4x+3)^5 dx を計算します。

2. 解き方の手順

置換積分を用いて解きます。
u=4x+3u = 4x + 3 と置くと、dudx=4\frac{du}{dx} = 4 となり、dx=14dudx = \frac{1}{4}du となります。
したがって、
(4x+3)5dx=u514du=14u5du\int (4x+3)^5 dx = \int u^5 \frac{1}{4} du = \frac{1}{4} \int u^5 du
u5du=u66+C\int u^5 du = \frac{u^6}{6} + C (Cは積分定数) ですから、
14u5du=14u66+C=u624+C\frac{1}{4} \int u^5 du = \frac{1}{4} \cdot \frac{u^6}{6} + C = \frac{u^6}{24} + C
ここで、u=4x+3u = 4x+3 を代入すると、
(4x+3)624+C\frac{(4x+3)^6}{24} + C
となります。

3. 最終的な答え

(4x+3)624+C\frac{(4x+3)^6}{24} + C

「解析学」の関連問題

$\sqrt{3}\sin x - \cos x > 1$ を満たす $x$ の範囲を求める問題です。

三角関数三角関数の合成不等式三角不等式
2025/5/28

与えられた不等式 $2 \cos^2 x + 3 \cos x - 2 < 0$ を解きます。

三角関数不等式cos三角不等式解の範囲
2025/5/28

$0 \le x < 2\pi$ のとき、関数 $y = \sin^2 x + \cos x$ の最大値と最小値を求め、そのときの $x$ の値を求める。

三角関数最大値最小値関数のグラフ平方完成
2025/5/28

(1) 関数 $f(x) = (x^2 + a)e^{-ax}$ が $x=1$ で極値をとるような定数 $a$ の値を求め、その時の関数 $f(x)$ の極値を求める。 (2) 関数 $f(x) =...

微分極値関数の増減合成関数三角関数
2025/5/28

(1) 関数 $f(x) = x^3 - x$ に対して、$f(x + \Delta x) = f(x) + X \Delta x + R(\Delta x)$ と表すとき、$X$ と $\lim_{...

微分導関数不定積分極限積分
2025/5/28

次の関数の増減を調べ、極値を求めよ。 (1) $y = |x| \sqrt{2-x^2}$ (2) $y = x^x$ ($x>0$) (3) $y = \frac{\sin x}{4 + \cos ...

関数の増減極値微分定義域
2025/5/28

媒介変数 $t$ で表された曲線 $x = \cos^3 t$, $y = \sin^3 t$ について、以下の問いに答える。ただし、$0 < t < \frac{\pi}{2}$ とする。 (1) ...

媒介変数微分接線面積三角関数
2025/5/28

与えられた関数 $y = x^4$ および $y = x^5$ の導関数を、公式 $(x^n)' = nx^{n-1}$ を用いて求める問題です。

微分導関数冪関数微分公式
2025/5/28

$\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n+1})^n$ を求めよ。

極限数列e自然対数の底
2025/5/28

与えられた関数の導関数を、導関数の定義に従って求める問題です。 (1) $f(x) = 3x$ (2) $f(x) = -x^2$

導関数微分の定義極限
2025/5/28