$\int \sin^4 x \, dx$ を計算する。

1. 問題の内容

$\int \sin^4 x \, dx$ を計算する。

2. 解き方の手順

まず、$\sin^2 x$ を半角の公式を用いて変形します。

$$\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$$

したがって、

$$\sin^4 x = (\sin^2 x)^2 = \left( \frac{1 - \cos 2x}{2} \right)^2 = \frac{1 - 2\cos 2x + \cos^2 2x}{4}$$

次に、$\cos^2 2x$ を半角の公式を用いて変形します。

$$\cos^2 2x = \frac{1 + \cos 4x}{2}$$

これらを代入すると、

$$\sin^4 x = \frac{1 - 2\cos 2x + \frac{1 + \cos 4x}{2}}{4} = \frac{2 - 4\cos 2x + 1 + \cos 4x}{8} = \frac{3 - 4\cos 2x + \cos 4x}{8}$$

したがって、

$$\int \sin^4 x \, dx = \int \frac{3 - 4\cos 2x + \cos 4x}{8} \, dx = \frac{1}{8} \int (3 - 4\cos 2x + \cos 4x) \, dx$$

積分を計算すると、

$$\frac{1}{8} \left( 3x - 4 \cdot \frac{1}{2} \sin 2x + \frac{1}{4} \sin 4x \right) + C = \frac{1}{8} \left( 3x - 2 \sin 2x + \frac{1}{4} \sin 4x \right) + C$$

$$= \frac{3}{8}x - \frac{1}{4} \sin 2x + \frac{1}{32} \sin 4x + C$$

さらに、$\sin 4x = 2 \sin 2x \cos 2x$ を代入すると、

$$= \frac{3}{8}x - \frac{1}{4} \sin 2x + \frac{1}{32} (2 \sin 2x \cos 2x) + C = \frac{3}{8}x - \frac{1}{4} \sin 2x + \frac{1}{16} \sin 2x \cos 2x + C$$

$$= \frac{3}{8}x - \frac{4}{16} \sin 2x + \frac{1}{16} \sin 2x \cos 2x + C = \frac{3}{8}x + \frac{1}{16} \sin 2x (\cos 2x - 4) + C$$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{8}x - \frac{1}{4} \sin 2x + \frac{1}{32} \sin 4x + C$

または

$\frac{3}{8}x + \frac{1}{16} \sin 2x (\cos 2x - 4) + C$