問題は2つあります。 * 問題1: 関数 $f(x,y) = 2x^3 + 16x^2 - 38x - 10xy + y^2 + 10y$ の極値をとる点と、その点での極値を全て求めよ。 * 問題2: 曲線 $x^2 + xy + y^2 - 3 = 0$ 上の点で、原点から最も近い点と最も遠い点を求めよ。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

* 問題1: 関数 $f(x,y) = 2x^3 + 16x^2 - 38x - 10xy + y^2 + 10y$ の極値をとる点と、その点での極値を全て求めよ。

* 問題2: 曲線 $x^2 + xy + y^2 - 3 = 0$ 上の点で、原点から最も近い点と最も遠い点を求めよ。

2. 解き方の手順

問題1: 関数 $f(x,y)$ の極値を求める。

1. 偏微分を計算する。

$f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = 6x^2 + 32x - 38 - 10y$

$f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = -10x + 2y + 10$

2. 連立方程式 $f_x = 0$ かつ $f_y = 0$ を解き、停留点を求める。

$6x^2 + 32x - 38 - 10y = 0$

$-10x + 2y + 10 = 0$ より $y = 5x - 5$

これを $6x^2 + 32x - 38 - 10y = 0$ に代入する。

$6x^2 + 32x - 38 - 10(5x - 5) = 0$

$6x^2 + 32x - 38 - 50x + 50 = 0$

$6x^2 - 18x + 12 = 0$

$x^2 - 3x + 2 = 0$

$(x-1)(x-2) = 0$

$x = 1, 2$

$x=1$ のとき $y = 5(1) - 5 = 0$

$x=2$ のとき $y = 5(2) - 5 = 5$

停留点は $(1, 0)$ と $(2, 5)$。

3. ヘッセ行列を計算する。

$f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 12x + 32$

$f_{yy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 2$

$f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = -10$

ヘッセ行列式 $D = f_{xx} f_{yy} - (f_{xy})^2 = (12x + 32)(2) - (-10)^2 = 24x + 64 - 100 = 24x - 36$

4. 各停留点におけるヘッセ行列式を評価する。

$(1, 0)$ のとき $D = 24(1) - 36 = -12 < 0$ なので、$(1, 0)$ は鞍点。

$(2, 5)$ のとき $D = 24(2) - 36 = 48 - 36 = 12 > 0$。 また、$f_{xx}(2, 5) = 12(2) + 32 = 56 > 0$ なので、$(2, 5)$ は極小点。

5. 極値を計算する。

$f(2, 5) = 2(2)^3 + 16(2)^2 - 38(2) - 10(2)(5) + (5)^2 + 10(5) = 16 + 64 - 76 - 100 + 25 + 50 = -21$

問題2: 曲線 $x^2 + xy + y^2 - 3 = 0$ 上の、原点からの距離が最大・最小となる点を求める。

1. 原点からの距離の2乗を $g(x, y) = x^2 + y^2$ とする。条件 $h(x, y) = x^2 + xy + y^2 - 3 = 0$ の下で $g(x, y)$ の極値を求める。

2. ラグランジュの未定乗数法を用いる。

$\nabla g = \lambda \nabla h$

$(2x, 2y) = \lambda(2x + y, x + 2y)$

$2x = \lambda (2x + y)$

$2y = \lambda (x + 2y)$

$x^2 + xy + y^2 - 3 = 0$

3. $\lambda$ を消去する。

$\frac{2x}{2x + y} = \frac{2y}{x + 2y}$

$2x(x + 2y) = 2y(2x + y)$

$2x^2 + 4xy = 4xy + 2y^2$

$2x^2 = 2y^2$

$x^2 = y^2$

$x = \pm y$

4. $x=y$ を $x^2 + xy + y^2 - 3 = 0$ に代入する。

$x^2 + x^2 + x^2 - 3 = 0$

$3x^2 = 3$

$x^2 = 1$

$x = \pm 1$

$(1, 1)$ と $(-1, -1)$

5. $x=-y$ を $x^2 + xy + y^2 - 3 = 0$ に代入する。

$x^2 - x^2 + x^2 - 3 = 0$

$x^2 = 3$

$x = \pm \sqrt{3}$

$(\sqrt{3}, -\sqrt{3})$ と $(-\sqrt{3}, \sqrt{3})$

6. それぞれの点の原点からの距離を計算する。

$(1, 1)$ の距離は $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$

$(-1, -1)$ の距離は $\sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$

$(\sqrt{3}, -\sqrt{3})$ の距離は $\sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{6}$

$(-\sqrt{3}, \sqrt{3})$ の距離は $\sqrt{(-\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{6}$

3. 最終的な答え

問題1:

関数 $f(x,y) = 2x^3 + 16x^2 - 38x - 10xy + y^2 + 10y$ は、点 $(1, 0)$ で鞍点を持ち、点 $(2, 5)$ で極小値 $-21$ をとる。

問題2:

曲線 $x^2 + xy + y^2 - 3 = 0$ 上で、原点に最も近い点は $(1, 1)$ と $(-1, -1)$ で、距離は $\sqrt{2}$。

原点から最も遠い点は $(\sqrt{3}, -\sqrt{3})$ と $(-\sqrt{3}, \sqrt{3})$ で、距離は $\sqrt{6}$。