問題は2つあります。 * 問題1: 関数 $f(x,y) = 2x^3 + 16x^2 - 38x - 10xy + y^2 + 10y$ の極値をとる点と、その点での極値を全て求めよ。 * 問題2: 曲線 $x^2 + xy + y^2 - 3 = 0$ 上の点で、原点から最も近い点と最も遠い点を求めよ。
2025/5/27
1. 問題の内容
問題は2つあります。
* 問題1: 関数 の極値をとる点と、その点での極値を全て求めよ。
* 問題2: 曲線 上の点で、原点から最も近い点と最も遠い点を求めよ。
2. 解き方の手順
問題1: 関数 の極値を求める。
1. 偏微分を計算する。
2. 連立方程式 $f_x = 0$ かつ $f_y = 0$ を解き、停留点を求める。
より
これを に代入する。
のとき
のとき
停留点は と 。
3. ヘッセ行列を計算する。
ヘッセ行列式
4. 各停留点におけるヘッセ行列式を評価する。
のとき なので、 は鞍点。
のとき 。 また、 なので、 は極小点。
5. 極値を計算する。
問題2: 曲線 上の、原点からの距離が最大・最小となる点を求める。
1. 原点からの距離の2乗を $g(x, y) = x^2 + y^2$ とする。条件 $h(x, y) = x^2 + xy + y^2 - 3 = 0$ の下で $g(x, y)$ の極値を求める。
2. ラグランジュの未定乗数法を用いる。
3. $\lambda$ を消去する。
4. $x=y$ を $x^2 + xy + y^2 - 3 = 0$ に代入する。
と
5. $x=-y$ を $x^2 + xy + y^2 - 3 = 0$ に代入する。
と
6. それぞれの点の原点からの距離を計算する。
の距離は
の距離は
の距離は
の距離は
3. 最終的な答え
問題1:
関数 は、点 で鞍点を持ち、点 で極小値 をとる。
問題2:
曲線 上で、原点に最も近い点は と で、距離は 。
原点から最も遠い点は と で、距離は 。