問題は2つあります。 * 問題1: 関数 $f(x,y) = 2x^3 + 16x^2 - 38x - 10xy + y^2 + 10y$ の極値をとる点と、その点での極値を全て求めよ。 * 問題2: 曲線 $x^2 + xy + y^2 - 3 = 0$ 上の点で、原点から最も近い点と最も遠い点を求めよ。

解析学多変数関数極値偏微分ヘッセ行列ラグランジュの未定乗数法
2025/5/27

1. 問題の内容

問題は2つあります。
* 問題1: 関数 f(x,y)=2x3+16x238x10xy+y2+10yf(x,y) = 2x^3 + 16x^2 - 38x - 10xy + y^2 + 10y の極値をとる点と、その点での極値を全て求めよ。
* 問題2: 曲線 x2+xy+y23=0x^2 + xy + y^2 - 3 = 0 上の点で、原点から最も近い点と最も遠い点を求めよ。

2. 解き方の手順

問題1: 関数 f(x,y)f(x,y) の極値を求める。

1. 偏微分を計算する。

fx=fx=6x2+32x3810yf_x = \frac{\partial f}{\partial x} = 6x^2 + 32x - 38 - 10y
fy=fy=10x+2y+10f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = -10x + 2y + 10

2. 連立方程式 $f_x = 0$ かつ $f_y = 0$ を解き、停留点を求める。

6x2+32x3810y=06x^2 + 32x - 38 - 10y = 0
10x+2y+10=0-10x + 2y + 10 = 0 より y=5x5y = 5x - 5
これを 6x2+32x3810y=06x^2 + 32x - 38 - 10y = 0 に代入する。
6x2+32x3810(5x5)=06x^2 + 32x - 38 - 10(5x - 5) = 0
6x2+32x3850x+50=06x^2 + 32x - 38 - 50x + 50 = 0
6x218x+12=06x^2 - 18x + 12 = 0
x23x+2=0x^2 - 3x + 2 = 0
(x1)(x2)=0(x-1)(x-2) = 0
x=1,2x = 1, 2
x=1x=1 のとき y=5(1)5=0y = 5(1) - 5 = 0
x=2x=2 のとき y=5(2)5=5y = 5(2) - 5 = 5
停留点は (1,0)(1, 0)(2,5)(2, 5)

3. ヘッセ行列を計算する。

fxx=2fx2=12x+32f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 12x + 32
fyy=2fy2=2f_{yy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 2
fxy=2fxy=10f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = -10
ヘッセ行列式 D=fxxfyy(fxy)2=(12x+32)(2)(10)2=24x+64100=24x36D = f_{xx} f_{yy} - (f_{xy})^2 = (12x + 32)(2) - (-10)^2 = 24x + 64 - 100 = 24x - 36

4. 各停留点におけるヘッセ行列式を評価する。

(1,0)(1, 0) のとき D=24(1)36=12<0D = 24(1) - 36 = -12 < 0 なので、(1,0)(1, 0) は鞍点。
(2,5)(2, 5) のとき D=24(2)36=4836=12>0D = 24(2) - 36 = 48 - 36 = 12 > 0。 また、fxx(2,5)=12(2)+32=56>0f_{xx}(2, 5) = 12(2) + 32 = 56 > 0 なので、(2,5)(2, 5) は極小点。

5. 極値を計算する。

f(2,5)=2(2)3+16(2)238(2)10(2)(5)+(5)2+10(5)=16+6476100+25+50=21f(2, 5) = 2(2)^3 + 16(2)^2 - 38(2) - 10(2)(5) + (5)^2 + 10(5) = 16 + 64 - 76 - 100 + 25 + 50 = -21
問題2: 曲線 x2+xy+y23=0x^2 + xy + y^2 - 3 = 0 上の、原点からの距離が最大・最小となる点を求める。

1. 原点からの距離の2乗を $g(x, y) = x^2 + y^2$ とする。条件 $h(x, y) = x^2 + xy + y^2 - 3 = 0$ の下で $g(x, y)$ の極値を求める。

2. ラグランジュの未定乗数法を用いる。

g=λh\nabla g = \lambda \nabla h
(2x,2y)=λ(2x+y,x+2y)(2x, 2y) = \lambda(2x + y, x + 2y)
2x=λ(2x+y)2x = \lambda (2x + y)
2y=λ(x+2y)2y = \lambda (x + 2y)
x2+xy+y23=0x^2 + xy + y^2 - 3 = 0

3. $\lambda$ を消去する。

2x2x+y=2yx+2y\frac{2x}{2x + y} = \frac{2y}{x + 2y}
2x(x+2y)=2y(2x+y)2x(x + 2y) = 2y(2x + y)
2x2+4xy=4xy+2y22x^2 + 4xy = 4xy + 2y^2
2x2=2y22x^2 = 2y^2
x2=y2x^2 = y^2
x=±yx = \pm y

4. $x=y$ を $x^2 + xy + y^2 - 3 = 0$ に代入する。

x2+x2+x23=0x^2 + x^2 + x^2 - 3 = 0
3x2=33x^2 = 3
x2=1x^2 = 1
x=±1x = \pm 1
(1,1)(1, 1)(1,1)(-1, -1)

5. $x=-y$ を $x^2 + xy + y^2 - 3 = 0$ に代入する。

x2x2+x23=0x^2 - x^2 + x^2 - 3 = 0
x2=3x^2 = 3
x=±3x = \pm \sqrt{3}
(3,3)(\sqrt{3}, -\sqrt{3})(3,3)(-\sqrt{3}, \sqrt{3})

6. それぞれの点の原点からの距離を計算する。

(1,1)(1, 1) の距離は 12+12=2\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}
(1,1)(-1, -1) の距離は (1)2+(1)2=2\sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}
(3,3)(\sqrt{3}, -\sqrt{3}) の距離は (3)2+(3)2=6\sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{6}
(3,3)(-\sqrt{3}, \sqrt{3}) の距離は (3)2+(3)2=6\sqrt{(-\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{6}

3. 最終的な答え

問題1:
関数 f(x,y)=2x3+16x238x10xy+y2+10yf(x,y) = 2x^3 + 16x^2 - 38x - 10xy + y^2 + 10y は、点 (1,0)(1, 0) で鞍点を持ち、点 (2,5)(2, 5) で極小値 21-21 をとる。
問題2:
曲線 x2+xy+y23=0x^2 + xy + y^2 - 3 = 0 上で、原点に最も近い点は (1,1)(1, 1)(1,1)(-1, -1) で、距離は 2\sqrt{2}
原点から最も遠い点は (3,3)(\sqrt{3}, -\sqrt{3})(3,3)(-\sqrt{3}, \sqrt{3}) で、距離は 6\sqrt{6}

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