関数 $f(x) = x^2 \cos(3x)$ の $n$ 次導関数を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2 \cos(3x)$ の $n$ 次導関数を求めよ。

2. 解き方の手順

ライプニッツの公式を用いる。ライプニッツの公式は、2つの関数 $u(x)$ と $v(x)$ の積の $n$ 次導関数を求めるもので、次のようになる。

$(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} u^{(n-k)} v^{(k)}$

ここで、$u(x) = x^2$、$v(x) = \cos(3x)$ とおく。

$u(x)$ の導関数を計算する。

$u'(x) = 2x$

$u''(x) = 2$

$u'''(x) = 0$

$u^{(k)}(x) = 0$ for $k \geq 3$

次に、$v(x) = \cos(3x)$ の導関数を計算する。

$v'(x) = -3\sin(3x) = 3\cos(3x + \frac{\pi}{2})$

$v''(x) = -9\cos(3x) = 3^2\cos(3x + 2\cdot\frac{\pi}{2})$

$v'''(x) = 27\sin(3x) = 3^3\cos(3x + 3\cdot\frac{\pi}{2})$

一般的に、

$v^{(k)}(x) = 3^k\cos(3x + k\cdot\frac{\pi}{2})$

ライプニッツの公式に代入する。

$(x^2\cos(3x))^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (x^2)^{(n-k)} (\cos(3x))^{(k)}$

$u(x)$ の3階以上の導関数は0になるので、$n-k \leq 2$ の項のみ考えればよい。

すなわち、$k \geq n-2$ となる $k$ についてのみ計算する。

$k=n$ のとき: $\binom{n}{n} (x^2)^{(0)} (\cos(3x))^{(n)} = 1 \cdot x^2 \cdot 3^n \cos(3x + n\frac{\pi}{2}) = x^2 3^n \cos(3x + n\frac{\pi}{2})$

$k=n-1$ のとき: $\binom{n}{n-1} (x^2)^{(1)} (\cos(3x))^{(n-1)} = n \cdot 2x \cdot 3^{n-1} \cos(3x + (n-1)\frac{\pi}{2}) = 2nx 3^{n-1} \cos(3x + (n-1)\frac{\pi}{2})$

$k=n-2$ のとき: $\binom{n}{n-2} (x^2)^{(2)} (\cos(3x))^{(n-2)} = \frac{n(n-1)}{2} \cdot 2 \cdot 3^{n-2} \cos(3x + (n-2)\frac{\pi}{2}) = n(n-1) 3^{n-2} \cos(3x + (n-2)\frac{\pi}{2})$

したがって、

$(x^2\cos(3x))^{(n)} = x^2 3^n \cos(3x + n\frac{\pi}{2}) + 2nx 3^{n-1} \cos(3x + (n-1)\frac{\pi}{2}) + n(n-1) 3^{n-2} \cos(3x + (n-2)\frac{\pi}{2})$

3. 最終的な答え

$(x^2\cos(3x))^{(n)} = 3^{n-2} [9x^2 \cos(3x + \frac{n\pi}{2}) + 6nx \cos(3x + \frac{(n-1)\pi}{2}) + n(n-1) \cos(3x + \frac{(n-2)\pi}{2})]$