関数 $f(x) = \arcsin(x)$ の1次、2次、3次、4次導関数を求め、マクローリンの定理を $n=3$ で適用せよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \arcsin(x)$ の1次、2次、3次、4次導関数を求め、マクローリンの定理を $n=3$ で適用せよ。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ の各次導関数を計算します。

$f(x) = \arcsin(x)$

1次導関数:

$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

2次導関数:

$f''(x) = \frac{d}{dx} (1-x^2)^{-1/2} = -\frac{1}{2} (1-x^2)^{-3/2} (-2x) = \frac{x}{(1-x^2)^{3/2}}$

3次導関数:

$f'''(x) = \frac{d}{dx} \frac{x}{(1-x^2)^{3/2}} = \frac{(1-x^2)^{3/2} - x \cdot \frac{3}{2} (1-x^2)^{1/2} (-2x)}{(1-x^2)^3} = \frac{(1-x^2)^{3/2} + 3x^2 (1-x^2)^{1/2}}{(1-x^2)^3} = \frac{(1-x^2) + 3x^2}{(1-x^2)^{5/2}} = \frac{1+2x^2}{(1-x^2)^{5/2}}$

4次導関数:

$f^{(4)}(x) = \frac{d}{dx} \frac{1+2x^2}{(1-x^2)^{5/2}} = \frac{4x(1-x^2)^{5/2} - (1+2x^2) \cdot \frac{5}{2} (1-x^2)^{3/2} (-2x)}{(1-x^2)^5} = \frac{4x(1-x^2)^{5/2} + 5x (1+2x^2) (1-x^2)^{3/2}}{(1-x^2)^5} = \frac{4x(1-x^2) + 5x(1+2x^2)}{(1-x^2)^{7/2}} = \frac{4x - 4x^3 + 5x + 10x^3}{(1-x^2)^{7/2}} = \frac{9x + 6x^3}{(1-x^2)^{7/2}} = \frac{3x(3+2x^2)}{(1-x^2)^{7/2}}$

次に、マクローリン展開のために、各導関数を $x=0$ で評価します。

$f(0) = \arcsin(0) = 0$

$f'(0) = \frac{1}{\sqrt{1-0^2}} = 1$

$f''(0) = \frac{0}{(1-0^2)^{3/2}} = 0$

$f'''(0) = \frac{1+2(0)^2}{(1-0^2)^{5/2}} = 1$

$f^{(4)}(0) = \frac{3(0)(3+2(0)^2)}{(1-0^2)^{7/2}} = 0$

マクローリンの定理は次の通りです。

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \dots$

$n=3$ までのマクローリン展開は次のようになります。

$f(x) \approx f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3$

$f(x) \approx 0 + 1 \cdot x + \frac{0}{2}x^2 + \frac{1}{6}x^3 = x + \frac{1}{6}x^3$

3. 最終的な答え

1次導関数：$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

2次導関数：$f''(x) = \frac{x}{(1-x^2)^{3/2}}$

3次導関数：$f'''(x) = \frac{1+2x^2}{(1-x^2)^{5/2}}$

4次導関数：$f^{(4)}(x) = \frac{3x(3+2x^2)}{(1-x^2)^{7/2}}$

マクローリン展開（n=3）：$\arcsin(x) \approx x + \frac{x^3}{6}$