与えられた関数を微分する問題です。具体的には、以下の関数を微分します。 (1) $y = e^{3x+2}$ (2) $y = e^{x^2}$ (3) $y = e^x$ (5) $y = e^{x^2+x+1}$ (6) $y = 5^{3x^3+2x+1}$

1. 問題の内容

与えられた関数を微分する問題です。具体的には、以下の関数を微分します。

(1) $y = e^{3x+2}$

(2) $y = e^{x^2}$

(3) $y = e^x$

(5) $y = e^{x^2+x+1}$

(6) $y = 5^{3x^3+2x+1}$

2. 解き方の手順

(1) $y = e^{3x+2}$

合成関数の微分を使います。$u = 3x+2$ とおくと、$y = e^u$となります。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ より、

$\frac{dy}{du} = e^u$

$\frac{du}{dx} = 3$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = e^u \cdot 3 = 3e^{3x+2}$

(2) $y = e^{x^2}$

合成関数の微分を使います。$u = x^2$ とおくと、$y = e^u$となります。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ より、

$\frac{dy}{du} = e^u$

$\frac{du}{dx} = 2x$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = e^u \cdot 2x = 2xe^{x^2}$

(3) $y = e^x$

これは基本的な微分です。

$\frac{dy}{dx} = e^x$

(5) $y = e^{x^2+x+1}$

合成関数の微分を使います。$u = x^2+x+1$ とおくと、$y = e^u$となります。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ より、

$\frac{dy}{du} = e^u$

$\frac{du}{dx} = 2x+1$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = e^u \cdot (2x+1) = (2x+1)e^{x^2+x+1}$

(6) $y = 5^{3x^3+2x+1}$

$y = a^u$ の微分は $\frac{dy}{dx} = a^u \ln(a) \cdot \frac{du}{dx}$ です。

$u = 3x^3+2x+1$ とおくと、$y = 5^u$となります。

$\frac{du}{dx} = 9x^2+2$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = 5^u \ln(5) \cdot (9x^2+2) = (9x^2+2) \ln(5) 5^{3x^3+2x+1}$

3. 最終的な答え

(1) $3e^{3x+2}$

(2) $2xe^{x^2}$

(3) $e^x$

(5) $(2x+1)e^{x^2+x+1}$

(6) $(9x^2+2) \ln(5) 5^{3x^3+2x+1}$