関数 $y = e^{\frac{-1}{1-x^2}}$ の導関数を求めます。

解析学微分導関数合成関数連鎖律積の微分
2025/5/27
## (3) の問題

1. 問題の内容

関数 y=e11x2y = e^{\frac{-1}{1-x^2}} の導関数を求めます。

2. 解き方の手順

この関数は合成関数なので、連鎖律(チェーンルール)を使って微分します。
* まず、外側の関数 eue^uuu で微分します。
ddueu=eu\frac{d}{du} e^u = e^u
* 次に、内側の関数 u=11x2=(1x2)1u = \frac{-1}{1-x^2} = -(1-x^2)^{-1}xx で微分します。
dudx=ddx(1x2)1=(1)(1x2)2(2x)=2x(1x2)2=2x(1x2)2\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} -(1-x^2)^{-1} = -(-1)(1-x^2)^{-2} \cdot (-2x) = -2x(1-x^2)^{-2} = \frac{-2x}{(1-x^2)^2}
* 最後に、連鎖律を使って yyxx で微分します。
dydx=dydududx=eu2x(1x2)2=e11x22x(1x2)2\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = e^u \cdot \frac{-2x}{(1-x^2)^2} = e^{\frac{-1}{1-x^2}} \cdot \frac{-2x}{(1-x^2)^2}

3. 最終的な答え

dydx=2x(1x2)2e11x2\frac{dy}{dx} = \frac{-2x}{(1-x^2)^2} e^{\frac{-1}{1-x^2}}
## (4) の問題

1. 問題の内容

関数 y=xe2xy = xe^{-2x} の導関数を求めます。

2. 解き方の手順

この関数は積の形なので、積の微分法を使います。
積の微分法は (uv)=uv+uv(uv)' = u'v + uv' です。
* u=xu = xv=e2xv = e^{-2x} とします。
* u=ddxx=1u' = \frac{d}{dx} x = 1
* v=ddxe2x=2e2xv' = \frac{d}{dx} e^{-2x} = -2e^{-2x} (連鎖律を使用)
* 積の微分法を適用します。
dydx=uv+uv=1e2x+x(2e2x)=e2x2xe2x=e2x(12x)\frac{dy}{dx} = u'v + uv' = 1 \cdot e^{-2x} + x \cdot (-2e^{-2x}) = e^{-2x} - 2xe^{-2x} = e^{-2x}(1 - 2x)

3. 最終的な答え

dydx=e2x(12x)\frac{dy}{dx} = e^{-2x}(1 - 2x)

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