関数 $y = e^{\frac{-1}{1-x^2}}$ の導関数を求めます。

## (3) の問題

1. 問題の内容

関数 $y = e^{\frac{-1}{1-x^2}}$ の導関数を求めます。

2. 解き方の手順

この関数は合成関数なので、連鎖律（チェーンルール）を使って微分します。

* まず、外側の関数 $e^u$ を $u$ で微分します。

$\frac{d}{du} e^u = e^u$

* 次に、内側の関数 $u = \frac{-1}{1-x^2} = -(1-x^2)^{-1}$ を $x$ で微分します。

$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} -(1-x^2)^{-1} = -(-1)(1-x^2)^{-2} \cdot (-2x) = -2x(1-x^2)^{-2} = \frac{-2x}{(1-x^2)^2}$

* 最後に、連鎖律を使って $y$ を $x$ で微分します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = e^u \cdot \frac{-2x}{(1-x^2)^2} = e^{\frac{-1}{1-x^2}} \cdot \frac{-2x}{(1-x^2)^2}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{-2x}{(1-x^2)^2} e^{\frac{-1}{1-x^2}}$

## (4) の問題

1. 問題の内容

関数 $y = xe^{-2x}$ の導関数を求めます。

2. 解き方の手順

この関数は積の形なので、積の微分法を使います。

積の微分法は $(uv)' = u'v + uv'$ です。

* $u = x$ と $v = e^{-2x}$ とします。

* $u' = \frac{d}{dx} x = 1$

* $v' = \frac{d}{dx} e^{-2x} = -2e^{-2x}$ (連鎖律を使用)

* 積の微分法を適用します。

$\frac{dy}{dx} = u'v + uv' = 1 \cdot e^{-2x} + x \cdot (-2e^{-2x}) = e^{-2x} - 2xe^{-2x} = e^{-2x}(1 - 2x)$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = e^{-2x}(1 - 2x)$