次の6つの関数を微分する。 (1) $y = e^{3x+2}$ (2) $y = e^{x^2}$ (3) $y = e^{\frac{-1}{1-x^2}}$ (4) $y = xe^{-2x}$ (5) $y = e^{x^2+x+1}$ (6) $y = 5^{3x^2+2x+1}$

1. 問題の内容

次の6つの関数を微分する。

(1) $y = e^{3x+2}$

(2) $y = e^{x^2}$

(3) $y = e^{\frac{-1}{1-x^2}}$

(4) $y = xe^{-2x}$

(5) $y = e^{x^2+x+1}$

(6) $y = 5^{3x^2+2x+1}$

2. 解き方の手順

(1) $y = e^{3x+2}$

合成関数の微分を用いる。$u = 3x+2$ とおくと、 $y = e^u$。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = e^u \cdot 3 = 3e^{3x+2}$

(2) $y = e^{x^2}$

合成関数の微分を用いる。$u = x^2$ とおくと、$y = e^u$。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = e^u \cdot 2x = 2xe^{x^2}$

(3) $y = e^{\frac{-1}{1-x^2}}$

合成関数の微分を用いる。$u = \frac{-1}{1-x^2}$ とおくと、$y = e^u$。

さらに、$v = 1-x^2$ とおくと、$u = -v^{-1}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx} = e^u \cdot v^{-2} \cdot (-2x) = e^{\frac{-1}{1-x^2}} \cdot \frac{1}{(1-x^2)^2} \cdot (-2x) = \frac{-2xe^{\frac{-1}{1-x^2}}}{(1-x^2)^2}$

(4) $y = xe^{-2x}$

積の微分と合成関数の微分を用いる。

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x) \cdot e^{-2x} + x \cdot \frac{d}{dx}(e^{-2x}) = 1 \cdot e^{-2x} + x \cdot (-2e^{-2x}) = e^{-2x} - 2xe^{-2x} = e^{-2x}(1-2x)$

(5) $y = e^{x^2+x+1}$

合成関数の微分を用いる。$u = x^2+x+1$ とおくと、$y = e^u$。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = e^u \cdot (2x+1) = (2x+1)e^{x^2+x+1}$

(6) $y = 5^{3x^2+2x+1}$

合成関数の微分を用いる。$y = a^x$ の微分は $y' = a^x \log a$ である。

$u = 3x^2+2x+1$ とおくと、$y = 5^u$。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 5^u \log 5 \cdot (6x+2) = (6x+2)5^{3x^2+2x+1}\log 5 = 2(3x+1)5^{3x^2+2x+1}\log 5$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = 3e^{3x+2}$

(2) $\frac{dy}{dx} = 2xe^{x^2}$

(3) $\frac{dy}{dx} = \frac{2xe^{\frac{-1}{1-x^2}}}{(1-x^2)^2}$

(4) $\frac{dy}{dx} = e^{-2x}(1-2x)$

(5) $\frac{dy}{dx} = (2x+1)e^{x^2+x+1}$

(6) $\frac{dy}{dx} = 2(3x+1)5^{3x^2+2x+1}\log 5$