次の6つの関数を微分する。 (1) $y = e^{3x+2}$ (2) $y = e^{x^2}$ (3) $y = e^{\frac{-1}{1-x^2}}$ (4) $y = xe^{-2x}$ (5) $y = e^{x^2+x+1}$ (6) $y = 5^{3x^2+2x+1}$

解析学微分合成関数の微分指数関数積の微分
2025/5/27

1. 問題の内容

次の6つの関数を微分する。
(1) y=e3x+2y = e^{3x+2}
(2) y=ex2y = e^{x^2}
(3) y=e11x2y = e^{\frac{-1}{1-x^2}}
(4) y=xe2xy = xe^{-2x}
(5) y=ex2+x+1y = e^{x^2+x+1}
(6) y=53x2+2x+1y = 5^{3x^2+2x+1}

2. 解き方の手順

(1) y=e3x+2y = e^{3x+2}
合成関数の微分を用いる。u=3x+2u = 3x+2 とおくと、 y=euy = e^u
dydx=dydududx=eu3=3e3x+2\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = e^u \cdot 3 = 3e^{3x+2}
(2) y=ex2y = e^{x^2}
合成関数の微分を用いる。u=x2u = x^2 とおくと、y=euy = e^u
dydx=dydududx=eu2x=2xex2\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = e^u \cdot 2x = 2xe^{x^2}
(3) y=e11x2y = e^{\frac{-1}{1-x^2}}
合成関数の微分を用いる。u=11x2u = \frac{-1}{1-x^2} とおくと、y=euy = e^u
さらに、v=1x2v = 1-x^2 とおくと、u=v1u = -v^{-1}
dydx=dydududvdvdx=euv2(2x)=e11x21(1x2)2(2x)=2xe11x2(1x2)2\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx} = e^u \cdot v^{-2} \cdot (-2x) = e^{\frac{-1}{1-x^2}} \cdot \frac{1}{(1-x^2)^2} \cdot (-2x) = \frac{-2xe^{\frac{-1}{1-x^2}}}{(1-x^2)^2}
(4) y=xe2xy = xe^{-2x}
積の微分と合成関数の微分を用いる。
dydx=ddx(x)e2x+xddx(e2x)=1e2x+x(2e2x)=e2x2xe2x=e2x(12x)\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x) \cdot e^{-2x} + x \cdot \frac{d}{dx}(e^{-2x}) = 1 \cdot e^{-2x} + x \cdot (-2e^{-2x}) = e^{-2x} - 2xe^{-2x} = e^{-2x}(1-2x)
(5) y=ex2+x+1y = e^{x^2+x+1}
合成関数の微分を用いる。u=x2+x+1u = x^2+x+1 とおくと、y=euy = e^u
dydx=dydududx=eu(2x+1)=(2x+1)ex2+x+1\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = e^u \cdot (2x+1) = (2x+1)e^{x^2+x+1}
(6) y=53x2+2x+1y = 5^{3x^2+2x+1}
合成関数の微分を用いる。y=axy = a^x の微分は y=axlogay' = a^x \log a である。
u=3x2+2x+1u = 3x^2+2x+1 とおくと、y=5uy = 5^u
dydx=dydududx=5ulog5(6x+2)=(6x+2)53x2+2x+1log5=2(3x+1)53x2+2x+1log5\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 5^u \log 5 \cdot (6x+2) = (6x+2)5^{3x^2+2x+1}\log 5 = 2(3x+1)5^{3x^2+2x+1}\log 5

3. 最終的な答え

(1) dydx=3e3x+2\frac{dy}{dx} = 3e^{3x+2}
(2) dydx=2xex2\frac{dy}{dx} = 2xe^{x^2}
(3) dydx=2xe11x2(1x2)2\frac{dy}{dx} = \frac{2xe^{\frac{-1}{1-x^2}}}{(1-x^2)^2}
(4) dydx=e2x(12x)\frac{dy}{dx} = e^{-2x}(1-2x)
(5) dydx=(2x+1)ex2+x+1\frac{dy}{dx} = (2x+1)e^{x^2+x+1}
(6) dydx=2(3x+1)53x2+2x+1log5\frac{dy}{dx} = 2(3x+1)5^{3x^2+2x+1}\log 5

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