与えられた4つの2階線形同次微分方程式の一般解を求める問題です。 (a) $y'' + 4y = 0$ (b) $y'' - 3y' + 2y = 0$ (c) $y'' + 2y' + 2y = 0$ (d) $y'' - 10y' + 25y = 0$

1. 問題の内容

与えられた4つの2階線形同次微分方程式の一般解を求める問題です。

(a) $y'' + 4y = 0$

(b) $y'' - 3y' + 2y = 0$

(c) $y'' + 2y' + 2y = 0$

(d) $y'' - 10y' + 25y = 0$

2. 解き方の手順

それぞれの微分方程式に対して特性方程式を立て、その解を求めることで一般解を導きます。

(a) $y'' + 4y = 0$

特性方程式は $r^2 + 4 = 0$ となります。

$r^2 = -4$

$r = \pm 2i$

したがって、一般解は $y = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x)$ となります。

(b) $y'' - 3y' + 2y = 0$

特性方程式は $r^2 - 3r + 2 = 0$ となります。

$(r - 1)(r - 2) = 0$

$r = 1, 2$

したがって、一般解は $y = C_1 e^x + C_2 e^{2x}$ となります。

(c) $y'' + 2y' + 2y = 0$

特性方程式は $r^2 + 2r + 2 = 0$ となります。

$r = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(2)}}{2(1)} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-4}}{2} = \frac{-2 \pm 2i}{2} = -1 \pm i$

したがって、一般解は $y = e^{-x}(C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x))$ となります。

(d) $y'' - 10y' + 25y = 0$

特性方程式は $r^2 - 10r + 25 = 0$ となります。

$(r - 5)^2 = 0$

$r = 5$ (重根)

したがって、一般解は $y = C_1 e^{5x} + C_2 x e^{5x}$ となります。

3. 最終的な答え

(a) $y = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x)$

(b) $y = C_1 e^x + C_2 e^{2x}$

(c) $y = e^{-x}(C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x))$

(d) $y = C_1 e^{5x} + C_2 x e^{5x}$