与えられた4つの2階線形同次微分方程式の一般解を求める問題です。 (a) $y'' + 4y = 0$ (b) $y'' - 3y' + 2y = 0$ (c) $y'' + 2y' + 2y = 0$ (d) $y'' - 10y' + 25y = 0$

解析学微分方程式線形微分方程式特性方程式一般解
2025/5/27

1. 問題の内容

与えられた4つの2階線形同次微分方程式の一般解を求める問題です。
(a) y+4y=0y'' + 4y = 0
(b) y3y+2y=0y'' - 3y' + 2y = 0
(c) y+2y+2y=0y'' + 2y' + 2y = 0
(d) y10y+25y=0y'' - 10y' + 25y = 0

2. 解き方の手順

それぞれの微分方程式に対して特性方程式を立て、その解を求めることで一般解を導きます。
(a) y+4y=0y'' + 4y = 0
特性方程式は r2+4=0r^2 + 4 = 0 となります。
r2=4r^2 = -4
r=±2ir = \pm 2i
したがって、一般解は y=C1cos(2x)+C2sin(2x)y = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x) となります。
(b) y3y+2y=0y'' - 3y' + 2y = 0
特性方程式は r23r+2=0r^2 - 3r + 2 = 0 となります。
(r1)(r2)=0(r - 1)(r - 2) = 0
r=1,2r = 1, 2
したがって、一般解は y=C1ex+C2e2xy = C_1 e^x + C_2 e^{2x} となります。
(c) y+2y+2y=0y'' + 2y' + 2y = 0
特性方程式は r2+2r+2=0r^2 + 2r + 2 = 0 となります。
r=2±224(1)(2)2(1)=2±482=2±42=2±2i2=1±ir = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(2)}}{2(1)} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-4}}{2} = \frac{-2 \pm 2i}{2} = -1 \pm i
したがって、一般解は y=ex(C1cos(x)+C2sin(x))y = e^{-x}(C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x)) となります。
(d) y10y+25y=0y'' - 10y' + 25y = 0
特性方程式は r210r+25=0r^2 - 10r + 25 = 0 となります。
(r5)2=0(r - 5)^2 = 0
r=5r = 5 (重根)
したがって、一般解は y=C1e5x+C2xe5xy = C_1 e^{5x} + C_2 x e^{5x} となります。

3. 最終的な答え

(a) y=C1cos(2x)+C2sin(2x)y = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x)
(b) y=C1ex+C2e2xy = C_1 e^x + C_2 e^{2x}
(c) y=ex(C1cos(x)+C2sin(x))y = e^{-x}(C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x))
(d) y=C1e5x+C2xe5xy = C_1 e^{5x} + C_2 x e^{5x}

「解析学」の関連問題

与えられた不等式 $2 \cos^2 x + 3 \cos x - 2 < 0$ を解きます。

三角関数不等式cos三角不等式解の範囲
2025/5/28

$0 \le x < 2\pi$ のとき、関数 $y = \sin^2 x + \cos x$ の最大値と最小値を求め、そのときの $x$ の値を求める。

三角関数最大値最小値関数のグラフ平方完成
2025/5/28

(1) 関数 $f(x) = (x^2 + a)e^{-ax}$ が $x=1$ で極値をとるような定数 $a$ の値を求め、その時の関数 $f(x)$ の極値を求める。 (2) 関数 $f(x) =...

微分極値関数の増減合成関数三角関数
2025/5/28

(1) 関数 $f(x) = x^3 - x$ に対して、$f(x + \Delta x) = f(x) + X \Delta x + R(\Delta x)$ と表すとき、$X$ と $\lim_{...

微分導関数不定積分極限積分
2025/5/28

次の関数の増減を調べ、極値を求めよ。 (1) $y = |x| \sqrt{2-x^2}$ (2) $y = x^x$ ($x>0$) (3) $y = \frac{\sin x}{4 + \cos ...

関数の増減極値微分定義域
2025/5/28

媒介変数 $t$ で表された曲線 $x = \cos^3 t$, $y = \sin^3 t$ について、以下の問いに答える。ただし、$0 < t < \frac{\pi}{2}$ とする。 (1) ...

媒介変数微分接線面積三角関数
2025/5/28

与えられた関数 $y = x^4$ および $y = x^5$ の導関数を、公式 $(x^n)' = nx^{n-1}$ を用いて求める問題です。

微分導関数冪関数微分公式
2025/5/28

$\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n+1})^n$ を求めよ。

極限数列e自然対数の底
2025/5/28

与えられた関数の導関数を、導関数の定義に従って求める問題です。 (1) $f(x) = 3x$ (2) $f(x) = -x^2$

導関数微分の定義極限
2025/5/28

関数 $G(x) = \int_{0}^{x} (x-t)e^t dt$ について、$G'(x)$ と $G''(x)$ を求める問題です。

積分微分部分積分導関数
2025/5/28