微分方程式 $y' = (x+y)^2$ を、$x+y = u$ とおくことによって解き、初期条件 $y(0) = 0$ を満たす特殊解を求める。

1. 問題の内容

微分方程式 $y' = (x+y)^2$ を、$x+y = u$ とおくことによって解き、初期条件 $y(0) = 0$ を満たす特殊解を求める。

2. 解き方の手順

(1) $u = x + y$ とおく。このとき、$\frac{du}{dx} = 1 + \frac{dy}{dx}$ より、$\frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx} - 1$ となる。

(2) 与えられた微分方程式 $y' = (x+y)^2$ に、$\frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx} - 1$ と $x+y = u$ を代入する。

$\frac{du}{dx} - 1 = u^2$

$\frac{du}{dx} = u^2 + 1$

(3) 変数分離を行う。

$\frac{du}{u^2 + 1} = dx$

(4) 両辺を積分する。

$\int \frac{du}{u^2 + 1} = \int dx$

$\arctan(u) = x + C$ (Cは積分定数)

(5) $u = x + y$ を代入する。

$\arctan(x+y) = x + C$

(6) $y(0) = 0$ の初期条件を代入し、$C$ を求める。

$\arctan(0+0) = 0 + C$

$\arctan(0) = C$

$0 = C$

(7) よって、$C = 0$ より、

$\arctan(x+y) = x$

(8) $x+y$ について解く。

$x+y = \tan(x)$

$y = \tan(x) - x$

3. 最終的な答え

$y = \tan(x) - x$