関数 $y = x^{3x}$ を対数微分法を用いて微分せよ。ただし、$x > 0$ とする。

解析学微分対数微分法関数の微分
2025/5/26
承知いたしました。59番の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

関数 y=x3xy = x^{3x} を対数微分法を用いて微分せよ。ただし、x>0x > 0 とする。

2. 解き方の手順

対数微分法の手順は以下の通りです。
ステップ1:両辺の自然対数をとる
y=x3xy = x^{3x} の両辺の自然対数をとると、
lny=ln(x3x)\ln y = \ln (x^{3x})
lny=3xlnx\ln y = 3x \ln x
ステップ2:両辺をxで微分する
lny=3xlnx\ln y = 3x \ln x の両辺をxで微分します。左辺は合成関数の微分なので、ddxlny=1ydydx\frac{d}{dx} \ln y = \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} となります。右辺は積の微分法を用いると、ddx(3xlnx)=3lnx+3x1x=3lnx+3\frac{d}{dx}(3x \ln x) = 3 \ln x + 3x \cdot \frac{1}{x} = 3 \ln x + 3 となります。よって、
1ydydx=3lnx+3\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 3 \ln x + 3
ステップ3:dydx\frac{dy}{dx} について解く
dydx=y(3lnx+3)\frac{dy}{dx} = y(3 \ln x + 3)
ここで、y=x3xy = x^{3x} を代入すると、
dydx=x3x(3lnx+3)\frac{dy}{dx} = x^{3x}(3 \ln x + 3)
dydx=3x3x(lnx+1)\frac{dy}{dx} = 3x^{3x}(\ln x + 1)

3. 最終的な答え

dydx=3x3x(lnx+1)\frac{dy}{dx} = 3x^{3x}(\ln x + 1)

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