関数 $y = x^{3x}$ を対数微分法を用いて微分せよ。ただし、$x > 0$ とする。

承知いたしました。59番の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

関数 $y = x^{3x}$ を対数微分法を用いて微分せよ。ただし、$x > 0$ とする。

2. 解き方の手順

対数微分法の手順は以下の通りです。

ステップ1：両辺の自然対数をとる

$y = x^{3x}$ の両辺の自然対数をとると、

$\ln y = \ln (x^{3x})$

$\ln y = 3x \ln x$

ステップ2：両辺をxで微分する

$\ln y = 3x \ln x$ の両辺をxで微分します。左辺は合成関数の微分なので、$\frac{d}{dx} \ln y = \frac{1}{y} \frac{dy}{dx}$ となります。右辺は積の微分法を用いると、$\frac{d}{dx}(3x \ln x) = 3 \ln x + 3x \cdot \frac{1}{x} = 3 \ln x + 3$ となります。よって、

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 3 \ln x + 3$

ステップ3：$\frac{dy}{dx}$ について解く

$\frac{dy}{dx} = y(3 \ln x + 3)$

ここで、$y = x^{3x}$ を代入すると、

$\frac{dy}{dx} = x^{3x}(3 \ln x + 3)$

$\frac{dy}{dx} = 3x^{3x}(\ln x + 1)$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = 3x^{3x}(\ln x + 1)$