関数 $y = x^{3x}$ を対数微分法を用いて微分せよ。ただし、$x > 0$ とする。解析学微分対数微分法関数の微分2025/5/26承知いたしました。59番の問題を解いていきます。1. 問題の内容関数 y=x3xy = x^{3x}y=x3x を対数微分法を用いて微分せよ。ただし、x>0x > 0x>0 とする。2. 解き方の手順対数微分法の手順は以下の通りです。ステップ1:両辺の自然対数をとるy=x3xy = x^{3x}y=x3x の両辺の自然対数をとると、lny=ln(x3x)\ln y = \ln (x^{3x})lny=ln(x3x)lny=3xlnx\ln y = 3x \ln xlny=3xlnxステップ2:両辺をxで微分するlny=3xlnx\ln y = 3x \ln xlny=3xlnx の両辺をxで微分します。左辺は合成関数の微分なので、ddxlny=1ydydx\frac{d}{dx} \ln y = \frac{1}{y} \frac{dy}{dx}dxdlny=y1dxdy となります。右辺は積の微分法を用いると、ddx(3xlnx)=3lnx+3x⋅1x=3lnx+3\frac{d}{dx}(3x \ln x) = 3 \ln x + 3x \cdot \frac{1}{x} = 3 \ln x + 3dxd(3xlnx)=3lnx+3x⋅x1=3lnx+3 となります。よって、1ydydx=3lnx+3\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 3 \ln x + 3y1dxdy=3lnx+3ステップ3:dydx\frac{dy}{dx}dxdy について解くdydx=y(3lnx+3)\frac{dy}{dx} = y(3 \ln x + 3)dxdy=y(3lnx+3)ここで、y=x3xy = x^{3x}y=x3x を代入すると、dydx=x3x(3lnx+3)\frac{dy}{dx} = x^{3x}(3 \ln x + 3)dxdy=x3x(3lnx+3)dydx=3x3x(lnx+1)\frac{dy}{dx} = 3x^{3x}(\ln x + 1)dxdy=3x3x(lnx+1)3. 最終的な答えdydx=3x3x(lnx+1)\frac{dy}{dx} = 3x^{3x}(\ln x + 1)dxdy=3x3x(lnx+1)