微分方程式 $y' = -\frac{4x+2y}{2x+y-1}$ を、$2x+y=u$ とおくことによって解き、初期条件 $y(0)=3$ を満たす特殊解を求めます。

1. 問題の内容

微分方程式 $y' = -\frac{4x+2y}{2x+y-1}$ を、$2x+y=u$ とおくことによって解き、初期条件 $y(0)=3$ を満たす特殊解を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $2x+y = u$ とおくと、$y = u - 2x$ となり、$y' = \frac{du}{dx} - 2$ となります。これを微分方程式に代入すると、

$\frac{du}{dx} - 2 = -\frac{2(2x+y)}{2x+y-1} = -\frac{2u}{u-1}$

$\frac{du}{dx} = 2 - \frac{2u}{u-1} = \frac{2(u-1)-2u}{u-1} = \frac{2u-2-2u}{u-1} = \frac{-2}{u-1}$

(2) 変数分離を行うと、

$(u-1)du = -2dx$

両辺を積分すると、

$\int (u-1) du = \int -2 dx$

$\frac{u^2}{2} - u = -2x + C$ （Cは積分定数）

(3) $u = 2x+y$ を代入すると、

$\frac{(2x+y)^2}{2} - (2x+y) = -2x + C$

$\frac{4x^2 + 4xy + y^2}{2} - 2x - y = -2x + C$

$4x^2 + 4xy + y^2 - 4x - 2y = 2C$

$4x^2 + 4xy + y^2 - 4x - 2y = C_1$ ($C_1 = 2C$)

(4) 初期条件 $y(0)=3$ を代入すると、

$4(0)^2 + 4(0)(3) + (3)^2 - 4(0) - 2(3) = C_1$

$0 + 0 + 9 - 0 - 6 = C_1$

$C_1 = 3$

(5) よって、特殊解は

$4x^2 + 4xy + y^2 - 4x - 2y = 3$

3. 最終的な答え

$4x^2 + 4xy + y^2 - 4x - 2y = 3$