$f(x) = \cos 3x$、$g(x) = 1 - \sin 3x$ とするとき、以下の関数の微分を求め、空欄を埋めよ。 (1) $(f(x)g(x))' = -3(\cos(\boxed{1}x) + \sin (\boxed{2}x))$ (2) $(\frac{f(x)}{g(x)})' = \frac{\boxed{3}}{\boxed{4} - \sin(\boxed{5}x)}$

解析学微分三角関数積の微分商の微分
2025/5/27

1. 問題の内容

f(x)=cos3xf(x) = \cos 3xg(x)=1sin3xg(x) = 1 - \sin 3x とするとき、以下の関数の微分を求め、空欄を埋めよ。
(1) (f(x)g(x))=3(cos(1x)+sin(2x))(f(x)g(x))' = -3(\cos(\boxed{1}x) + \sin (\boxed{2}x))
(2) (f(x)g(x))=34sin(5x)(\frac{f(x)}{g(x)})' = \frac{\boxed{3}}{\boxed{4} - \sin(\boxed{5}x)}

2. 解き方の手順

(1) 積の微分公式 (f(x)g(x))=f(x)g(x)+f(x)g(x)(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) を用いる。
f(x)=3sin3xf'(x) = -3\sin 3xg(x)=3cos3xg'(x) = -3\cos 3x より、
\begin{align*}
(f(x)g(x))' &= f'(x)g(x) + f(x)g'(x) \\
&= -3\sin 3x (1-\sin 3x) + \cos 3x (-3\cos 3x) \\
&= -3\sin 3x + 3\sin^2 3x - 3\cos^2 3x \\
&= -3\sin 3x - 3(\cos^2 3x - \sin^2 3x) \\
&= -3\sin 3x - 3\cos 6x \\
&= -3(\cos 6x + \sin 3x)
\end{align*}
よって、1=6\boxed{1} = 62=3\boxed{2} = 3
(2) 商の微分公式 (f(x)g(x))=f(x)g(x)f(x)g(x)g(x)2(\frac{f(x)}{g(x)})' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2} を用いる。
f(x)=3sin3xf'(x) = -3\sin 3xg(x)=3cos3xg'(x) = -3\cos 3x より、
\begin{align*}
(\frac{f(x)}{g(x)})' &= \frac{-3\sin 3x (1-\sin 3x) - \cos 3x(-3\cos 3x)}{(1-\sin 3x)^2} \\
&= \frac{-3\sin 3x + 3\sin^2 3x + 3\cos^2 3x}{(1-\sin 3x)^2} \\
&= \frac{-3\sin 3x + 3(\sin^2 3x + \cos^2 3x)}{(1-\sin 3x)^2} \\
&= \frac{3 - 3\sin 3x}{(1-\sin 3x)^2} \\
&= \frac{3(1 - \sin 3x)}{(1-\sin 3x)^2} \\
&= \frac{3}{1 - \sin 3x}
\end{align*}
よって、3=3\boxed{3} = 34=1\boxed{4} = 15=3\boxed{5} = 3

3. 最終的な答え

(1) 1=6\boxed{1} = 62=3\boxed{2} = 3
(2) 3=3\boxed{3} = 34=1\boxed{4} = 15=3\boxed{5} = 3

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