$f(x) = \cos 3x$、$g(x) = 1 - \sin 3x$ とするとき、以下の関数の微分を求め、空欄を埋めよ。 (1) $(f(x)g(x))' = -3(\cos(\boxed{1}x) + \sin (\boxed{2}x))$ (2) $(\frac{f(x)}{g(x)})' = \frac{\boxed{3}}{\boxed{4} - \sin(\boxed{5}x)}$

1. 問題の内容

$f(x) = \cos 3x$、$g(x) = 1 - \sin 3x$ とするとき、以下の関数の微分を求め、空欄を埋めよ。

(1) $(f(x)g(x))' = -3(\cos(\boxed{1}x) + \sin (\boxed{2}x))$

(2) $(\frac{f(x)}{g(x)})' = \frac{\boxed{3}}{\boxed{4} - \sin(\boxed{5}x)}$

2. 解き方の手順

(1) 積の微分公式 $(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$ を用いる。

$f'(x) = -3\sin 3x$、 $g'(x) = -3\cos 3x$ より、

\begin{align*}

(f(x)g(x))' &= f'(x)g(x) + f(x)g'(x) \\

&= -3\sin 3x (1-\sin 3x) + \cos 3x (-3\cos 3x) \\

&= -3\sin 3x + 3\sin^2 3x - 3\cos^2 3x \\

&= -3\sin 3x - 3(\cos^2 3x - \sin^2 3x) \\

&= -3\sin 3x - 3\cos 6x \\

&= -3(\cos 6x + \sin 3x)

\end{align*}

よって、$\boxed{1} = 6$、$\boxed{2} = 3$

(2) 商の微分公式 $(\frac{f(x)}{g(x)})' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2}$ を用いる。

$f'(x) = -3\sin 3x$、 $g'(x) = -3\cos 3x$ より、

\begin{align*}

(\frac{f(x)}{g(x)})' &= \frac{-3\sin 3x (1-\sin 3x) - \cos 3x(-3\cos 3x)}{(1-\sin 3x)^2} \\

&= \frac{-3\sin 3x + 3\sin^2 3x + 3\cos^2 3x}{(1-\sin 3x)^2} \\

&= \frac{-3\sin 3x + 3(\sin^2 3x + \cos^2 3x)}{(1-\sin 3x)^2} \\

&= \frac{3 - 3\sin 3x}{(1-\sin 3x)^2} \\

&= \frac{3(1 - \sin 3x)}{(1-\sin 3x)^2} \\

&= \frac{3}{1 - \sin 3x}

\end{align*}

よって、$\boxed{3} = 3$、$\boxed{4} = 1$、$\boxed{5} = 3$

3. 最終的な答え

(1) $\boxed{1} = 6$、$\boxed{2} = 3$

(2) $\boxed{3} = 3$、$\boxed{4} = 1$、$\boxed{5} = 3$