問題は3つあります。 1. 位置ベクトル $\mathbf{r} = (x, y, z)$, $r = |\mathbf{r}|$ のとき、$\nabla r$, $\nabla^2 r$, $\nabla (r^2 e^{-r})$ を $\mathbf{r}$ および $r$ を用いて表す。

1. 問題の内容

問題は3つあります。

1. 位置ベクトル $\mathbf{r} = (x, y, z)$, $r = |\mathbf{r}|$ のとき、$\nabla r$, $\nabla^2 r$, $\nabla (r^2 e^{-r})$ を $\mathbf{r}$ および $r$ を用いて表す。

2. 曲面 $x^2 y + 2xz = 16$ の点 $(2, -2, 6)$ における単位法線ベクトル $\mathbf{n}$ を求める。

3. ベクトル場 $\mathbf{A} = e^{-y} (\cos x, -\cos x, \cos x)$ の発散 $\nabla \cdot \mathbf{A}$ および回転 $\nabla \times \mathbf{A}$ を求める。

2. 解き方の手順

1. (1) $\nabla r$ を求める。

$r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ なので、

$\frac{\partial r}{\partial x} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} = \frac{x}{r}$

$\frac{\partial r}{\partial y} = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} = \frac{y}{r}$

$\frac{\partial r}{\partial z} = \frac{z}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} = \frac{z}{r}$

したがって、

$\nabla r = (\frac{x}{r}, \frac{y}{r}, \frac{z}{r}) = \frac{1}{r} (x, y, z) = \frac{\mathbf{r}}{r}$

(2) $\nabla^2 r$ を求める。

$\nabla^2 r = \nabla \cdot (\nabla r) = \nabla \cdot (\frac{\mathbf{r}}{r}) = \nabla \cdot (\frac{x}{r}, \frac{y}{r}, \frac{z}{r})$

$\frac{\partial}{\partial x} (\frac{x}{r}) = \frac{1}{r} - \frac{x}{r^2} \frac{\partial r}{\partial x} = \frac{1}{r} - \frac{x^2}{r^3}$

$\frac{\partial}{\partial y} (\frac{y}{r}) = \frac{1}{r} - \frac{y}{r^2} \frac{\partial r}{\partial y} = \frac{1}{r} - \frac{y^2}{r^3}$

$\frac{\partial}{\partial z} (\frac{z}{r}) = \frac{1}{r} - \frac{z}{r^2} \frac{\partial r}{\partial z} = \frac{1}{r} - \frac{z^2}{r^3}$

$\nabla^2 r = \frac{\partial}{\partial x} (\frac{x}{r}) + \frac{\partial}{\partial y} (\frac{y}{r}) + \frac{\partial}{\partial z} (\frac{z}{r}) = \frac{3}{r} - \frac{x^2 + y^2 + z^2}{r^3} = \frac{3}{r} - \frac{r^2}{r^3} = \frac{2}{r}$

(3) $\nabla (r^2 e^{-r})$ を求める。

$\nabla (r^2 e^{-r}) = \frac{\partial}{\partial x}(r^2 e^{-r}) \mathbf{i} + \frac{\partial}{\partial y}(r^2 e^{-r}) \mathbf{j} + \frac{\partial}{\partial z}(r^2 e^{-r}) \mathbf{k}$

$\frac{\partial}{\partial x}(r^2 e^{-r}) = (2r e^{-r} - r^2 e^{-r}) \frac{\partial r}{\partial x} = (2r e^{-r} - r^2 e^{-r}) \frac{x}{r} = (2e^{-r} - r e^{-r}) x$

同様に、

$\frac{\partial}{\partial y}(r^2 e^{-r}) = (2e^{-r} - r e^{-r}) y$

$\frac{\partial}{\partial z}(r^2 e^{-r}) = (2e^{-r} - r e^{-r}) z$

したがって、

$\nabla (r^2 e^{-r}) = (2e^{-r} - r e^{-r}) (x, y, z) = (2e^{-r} - r e^{-r}) \mathbf{r}$

2. 曲面 $x^2 y + 2xz = 16$ の点 $(2, -2, 6)$ における単位法線ベクトル $\mathbf{n}$ を求める。

$f(x, y, z) = x^2 y + 2xz - 16 = 0$ とする。

$\nabla f = (2xy + 2z, x^2, 2x) = (2(2)(-2) + 2(6), 2^2, 2(2)) = (-8 + 12, 4, 4) = (4, 4, 4)$

$\mathbf{n} = \frac{\nabla f}{|\nabla f|} = \frac{(4, 4, 4)}{\sqrt{4^2 + 4^2 + 4^2}} = \frac{(4, 4, 4)}{\sqrt{48}} = \frac{(4, 4, 4)}{4\sqrt{3}} = (\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}})$

3. ベクトル場 $\mathbf{A} = e^{-y} (\cos x, -\cos x, \cos x)$ の発散 $\nabla \cdot \mathbf{A}$ および回転 $\nabla \times \mathbf{A}$ を求める。

$\nabla \cdot \mathbf{A} = \frac{\partial}{\partial x} (e^{-y} \cos x) + \frac{\partial}{\partial y} (-e^{-y} \cos x) + \frac{\partial}{\partial z} (e^{-y} \cos x) = -e^{-y} \sin x + e^{-y} \cos x + 0 = e^{-y} (\cos x - \sin x)$

$\nabla \times \mathbf{A} = (\frac{\partial}{\partial y}(e^{-y} \cos x) - \frac{\partial}{\partial z}(-e^{-y} \cos x), \frac{\partial}{\partial z}(e^{-y} \cos x) - \frac{\partial}{\partial x}(e^{-y} \cos x), \frac{\partial}{\partial x}(-e^{-y} \cos x) - \frac{\partial}{\partial y}(e^{-y} \cos x))$

$= (-e^{-y} \cos x - 0, 0 - (-e^{-y} \sin x), e^{-y} \sin x - (-e^{-y} \cos x)) = (-e^{-y} \cos x, e^{-y} \sin x, e^{-y} (\sin x + \cos x))$

$= e^{-y} (-\cos x, \sin x, \sin x + \cos x)$

3. 最終的な答え

1. (1) $\nabla r = \frac{\mathbf{r}}{r}$

(2) $\nabla^2 r = \frac{2}{r}$

(3) $\nabla (r^2 e^{-r}) = (2e^{-r} - r e^{-r}) \mathbf{r}$

2. $\mathbf{n} = (\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}})$

3. $\nabla \cdot \mathbf{A} = e^{-y} (\cos x - \sin x)$

$\nabla \times \mathbf{A} = e^{-y} (-\cos x, \sin x, \sin x + \cos x)$