部分分数分解を利用して、与えられた項をより扱いやすい形に変形します。
k(k+1)(k+2)(k+3)3+2k=kA+k+1B+k+2C+k+3D 両辺に k(k+1)(k+2)(k+3) をかけると、 3+2k=A(k+1)(k+2)(k+3)+Bk(k+2)(k+3)+Ck(k+1)(k+3)+Dk(k+1)(k+2) k=0 のとき、3=A(1)(2)(3)⟹A=21 k=−1 のとき、1=B(−1)(1)(2)⟹B=−21 k=−2 のとき、−1=C(−2)(−1)(1)⟹C=−21 k=−3 のとき、−3=D(−3)(−2)(−1)⟹D=21 したがって、
k(k+1)(k+2)(k+3)3+2k=21(k1−k+11−k+21+k+31) ここで、
k1−k+11=k(k+1)1 k+21−k+31=(k+2)(k+3)1 したがって、
k1−k+11−k+21+k+31=k(k+1)1−(k+2)(k+3)1 =k(k+1)(k+2)(k+3)(k+2)(k+3)−k(k+1)=k(k+1)(k+2)(k+3)k2+5k+6−k2−k=k(k+1)(k+2)(k+3)4k+6 別の変形を試みます。
k1−k+11−k+21+k+31=(k1−k+11)−(k+21−k+31) =k(k+1)1−(k+2)(k+3)1=k(k+1)(k+2)(k+3)(k+2)(k+3)−k(k+1) =k(k+1)(k+2)(k+3)k2+5k+6−k2−k=k(k+1)(k+2)(k+3)4k+6 この変形は元に戻ってしまっています。
∑k=1nk(k+1)(k+2)(k+3)3+2k=21∑k=1n(k1−k+11−k+21+k+31) =21∑k=1n((k1−k+11)−(k+21−k+31)) = \frac{1}{2} \left[ \left( 1 - \frac{1}{n+1} \right) - \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{n+3} \right) - \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{n+2} \right) + \left( \frac{1}{3}-\frac{1}{4} \right) + \left(\frac{1}{4}-\frac{1}{5}\right) + \dots
=21[(1+21)−(n+11+n+21)−(21−n+31)−(31−n+31)] =21(1+21−31−n+11−n+21+n+31) =21(67−n+11−n+21+n+31) ∑k=1n(k1−k+11−k+21+k+31) =∑k=1n(k1−k+11)−∑k=1n(k+21−k+31) =(1−n+11)−(31−n+31+41−n+41...)=1−21−31+(n+11−n+31) =1+21−(n+11+n+21)+21((n+31+n+41). =∑k=1n(k1−k+11)−∑k=1n(k+21−k+31) =(1−21+21−31+31−41+...+n1−n+11)−(31−41+41−51+...+n+21−n+31) =(1−n+11)−(31−n+31) =1−31−n+11+n+31 =32−n+11+n+31=32−(n+1)(n+3)(n+3)−(n+1)=32−(n+1)(n+3)2 21(32−(n+1)(n+3)2)=31−(n+1)(n+3)1