与えられた級数の和を求めます。具体的には、$\sum_{k=1}^{n} \frac{3+2k}{k(k+1)(k+2)(k+3)}$ を計算します。

解析学級数部分分数分解数列の和
2025/5/27

1. 問題の内容

与えられた級数の和を求めます。具体的には、k=1n3+2kk(k+1)(k+2)(k+3)\sum_{k=1}^{n} \frac{3+2k}{k(k+1)(k+2)(k+3)} を計算します。

2. 解き方の手順

部分分数分解を利用して、与えられた項をより扱いやすい形に変形します。
3+2kk(k+1)(k+2)(k+3)=Ak+Bk+1+Ck+2+Dk+3\frac{3+2k}{k(k+1)(k+2)(k+3)} = \frac{A}{k} + \frac{B}{k+1} + \frac{C}{k+2} + \frac{D}{k+3}
両辺に k(k+1)(k+2)(k+3)k(k+1)(k+2)(k+3) をかけると、
3+2k=A(k+1)(k+2)(k+3)+Bk(k+2)(k+3)+Ck(k+1)(k+3)+Dk(k+1)(k+2)3+2k = A(k+1)(k+2)(k+3) + B k(k+2)(k+3) + C k(k+1)(k+3) + D k(k+1)(k+2)
k=0k=0 のとき、3=A(1)(2)(3)    A=123 = A(1)(2)(3) \implies A = \frac{1}{2}
k=1k=-1 のとき、1=B(1)(1)(2)    B=121 = B(-1)(1)(2) \implies B = -\frac{1}{2}
k=2k=-2 のとき、1=C(2)(1)(1)    C=12-1 = C(-2)(-1)(1) \implies C = -\frac{1}{2}
k=3k=-3 のとき、3=D(3)(2)(1)    D=12-3 = D(-3)(-2)(-1) \implies D = \frac{1}{2}
したがって、
3+2kk(k+1)(k+2)(k+3)=12(1k1k+11k+2+1k+3)\frac{3+2k}{k(k+1)(k+2)(k+3)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} - \frac{1}{k+2} + \frac{1}{k+3} \right)
ここで、
1k1k+1=1k(k+1)\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} = \frac{1}{k(k+1)}
1k+21k+3=1(k+2)(k+3)\frac{1}{k+2} - \frac{1}{k+3} = \frac{1}{(k+2)(k+3)}
したがって、
1k1k+11k+2+1k+3=1k(k+1)1(k+2)(k+3)\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} - \frac{1}{k+2} + \frac{1}{k+3} = \frac{1}{k(k+1)} - \frac{1}{(k+2)(k+3)}
=(k+2)(k+3)k(k+1)k(k+1)(k+2)(k+3)=k2+5k+6k2kk(k+1)(k+2)(k+3)=4k+6k(k+1)(k+2)(k+3)= \frac{(k+2)(k+3) - k(k+1)}{k(k+1)(k+2)(k+3)} = \frac{k^2+5k+6-k^2-k}{k(k+1)(k+2)(k+3)} = \frac{4k+6}{k(k+1)(k+2)(k+3)}
別の変形を試みます。
1k1k+11k+2+1k+3=(1k1k+1)(1k+21k+3)\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} - \frac{1}{k+2} + \frac{1}{k+3} = \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right) - \left( \frac{1}{k+2} - \frac{1}{k+3} \right)
=1k(k+1)1(k+2)(k+3)=(k+2)(k+3)k(k+1)k(k+1)(k+2)(k+3)=\frac{1}{k(k+1)} - \frac{1}{(k+2)(k+3)} = \frac{(k+2)(k+3) - k(k+1)}{k(k+1)(k+2)(k+3)}
=k2+5k+6k2kk(k+1)(k+2)(k+3)=4k+6k(k+1)(k+2)(k+3)=\frac{k^2+5k+6-k^2-k}{k(k+1)(k+2)(k+3)} = \frac{4k+6}{k(k+1)(k+2)(k+3)}
この変形は元に戻ってしまっています。
k=1n3+2kk(k+1)(k+2)(k+3)=12k=1n(1k1k+11k+2+1k+3)\sum_{k=1}^{n} \frac{3+2k}{k(k+1)(k+2)(k+3)} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} - \frac{1}{k+2} + \frac{1}{k+3} \right)
=12k=1n((1k1k+1)(1k+21k+3))= \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} \left( \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right) - \left( \frac{1}{k+2} - \frac{1}{k+3} \right) \right)
= \frac{1}{2} \left[ \left( 1 - \frac{1}{n+1} \right) - \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{n+3} \right) - \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{n+2} \right) + \left( \frac{1}{3}-\frac{1}{4} \right) + \left(\frac{1}{4}-\frac{1}{5}\right) + \dots
=12[(1+12)(1n+1+1n+2)(121n+3)(131n+3)]= \frac{1}{2} \left[ \left( 1+\frac{1}{2} \right) - \left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}\right) - \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{n+3} \right) - \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{n+3} \right) \right]
=12(1+12131n+11n+2+1n+3)= \frac{1}{2} \left( 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} - \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} + \frac{1}{n+3} \right)
=12(761n+11n+2+1n+3)= \frac{1}{2} \left( \frac{7}{6} - \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} + \frac{1}{n+3} \right)
k=1n(1k1k+11k+2+1k+3)\sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+2}+\frac{1}{k+3})
=k=1n(1k1k+1)k=1n(1k+21k+3)= \sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}) - \sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{k+2}-\frac{1}{k+3})
=(11n+1)(131n+3+141n+4...)=11213+(1n+11n+3)= (1-\frac{1}{n+1}) - (\frac{1}{3}-\frac{1}{n+3} + \frac{1}{4}-\frac{1}{n+4}...) = 1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3} + (\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+3})
=1+12(1n+1+1n+2)+12((1n+3+1n+4)= 1+\frac{1}{2} - (\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2}) +\frac{1}{2}( (\frac{1}{n+3} + \frac{1}{n+4}).
=k=1n(1k1k+1)k=1n(1k+21k+3)= \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right) - \sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{k+2} - \frac{1}{k+3} )
=(112+1213+1314+...+1n1n+1)(1314+1415+...+1n+21n+3)= (1-\frac{1}{2} + \frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+ ... + \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}) - (\frac{1}{3}-\frac{1}{4} + \frac{1}{4}-\frac{1}{5} + ... + \frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3})
=(11n+1)(131n+3)= (1-\frac{1}{n+1}) - (\frac{1}{3} - \frac{1}{n+3})
=1131n+1+1n+3= 1-\frac{1}{3} -\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+3}
=231n+1+1n+3=23(n+3)(n+1)(n+1)(n+3)=232(n+1)(n+3)= \frac{2}{3} - \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+3} = \frac{2}{3} - \frac{(n+3)-(n+1)}{(n+1)(n+3)} = \frac{2}{3} - \frac{2}{(n+1)(n+3)}
12(232(n+1)(n+3))=131(n+1)(n+3)\frac{1}{2} \left( \frac{2}{3} - \frac{2}{(n+1)(n+3)} \right) = \frac{1}{3} - \frac{1}{(n+1)(n+3)}

3. 最終的な答え

131(n+1)(n+3)\frac{1}{3} - \frac{1}{(n+1)(n+3)}

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