与えられた３つの関数について、それぞれの定義域、値域、グラフを求め、必要であれば漸近線を求める。関数は以下の通りである。 (1) $y = \frac{3}{x+2} - 2$ (2) $y = \sqrt{x+2} - 1$ (3) $y = -\sqrt{x+2}$

1. 問題の内容

与えられた３つの関数について、それぞれの定義域、値域、グラフを求め、必要であれば漸近線を求める。関数は以下の通りである。

(1) $y = \frac{3}{x+2} - 2$

(2) $y = \sqrt{x+2} - 1$

(3) $y = -\sqrt{x+2}$

2. 解き方の手順

(1) $y = \frac{3}{x+2} - 2$

* **定義域:** 分母が0にならないようにする。$x+2 \neq 0$ より $x \neq -2$。よって、定義域は $x < -2$ または $x > -2$。

* **値域:** $y = \frac{3}{x+2} - 2$ を $x$ について解くと、$y+2 = \frac{3}{x+2}$、$(y+2)(x+2) = 3$、$x+2 = \frac{3}{y+2}$、$x = \frac{3}{y+2} - 2$ となる。分母が0にならないようにする。$y+2 \neq 0$ より $y \neq -2$。よって、値域は $y < -2$ または $y > -2$。

* **漸近線:** $x = -2$ および $y = -2$。

* **グラフ:** $y = \frac{3}{x+2} - 2$ は、$y = \frac{3}{x}$ を $x$ 軸方向に $-2$、 $y$ 軸方向に $-2$ 平行移動したものである。

(2) $y = \sqrt{x+2} - 1$

* **定義域:** 根号の中が0以上になるようにする。$x+2 \geq 0$ より $x \geq -2$。

* **値域:** $\sqrt{x+2} \geq 0$ より $y = \sqrt{x+2} - 1 \geq -1$。

* **漸近線:** 漸近線はない。

* **グラフ:** $y = \sqrt{x+2} - 1$ は、$y = \sqrt{x}$ を $x$ 軸方向に $-2$、 $y$ 軸方向に $-1$ 平行移動したものである。

(3) $y = -\sqrt{x+2}$

* **定義域:** 根号の中が0以上になるようにする。$x+2 \geq 0$ より $x \geq -2$。

* **値域:** $\sqrt{x+2} \geq 0$ より $-\sqrt{x+2} \leq 0$。したがって $y \leq 0$。

* **漸近線:** 漸近線はない。

* **グラフ:** $y = -\sqrt{x+2}$ は、$y = \sqrt{x}$ を $x$ 軸方向に $-2$ 平行移動し、$x$ 軸に関して反転したものである。

3. 最終的な答え

(1)

* 定義域: $x < -2$ または $x > -2$

* 値域: $y < -2$ または $y > -2$

* 漸近線: $x = -2$, $y = -2$

(2)

* 定義域: $x \geq -2$

* 値域: $y \geq -1$

* 漸近線: なし

(3)

* 定義域: $x \geq -2$

* 値域: $y \leq 0$

* 漸近線: なし