与えられた3つの関数について、それぞれの定義域、値域、グラフを求め、必要であれば漸近線を求める。関数は以下の通りである。 (1) $y = \frac{3}{x+2} - 2$ (2) $y = \sqrt{x+2} - 1$ (3) $y = -\sqrt{x+2}$

解析学関数の定義域関数の値域関数のグラフ漸近線分数関数平方根関数
2025/5/27

1. 問題の内容

与えられた3つの関数について、それぞれの定義域、値域、グラフを求め、必要であれば漸近線を求める。関数は以下の通りである。
(1) y=3x+22y = \frac{3}{x+2} - 2
(2) y=x+21y = \sqrt{x+2} - 1
(3) y=x+2y = -\sqrt{x+2}

2. 解き方の手順

(1) y=3x+22y = \frac{3}{x+2} - 2
* **定義域:** 分母が0にならないようにする。x+20x+2 \neq 0 より x2x \neq -2。よって、定義域は x<2x < -2 または x>2x > -2
* **値域:** y=3x+22y = \frac{3}{x+2} - 2xx について解くと、y+2=3x+2y+2 = \frac{3}{x+2}(y+2)(x+2)=3(y+2)(x+2) = 3x+2=3y+2x+2 = \frac{3}{y+2}x=3y+22x = \frac{3}{y+2} - 2 となる。分母が0にならないようにする。y+20y+2 \neq 0 より y2y \neq -2。よって、値域は y<2y < -2 または y>2y > -2
* **漸近線:** x=2x = -2 および y=2y = -2
* **グラフ:** y=3x+22y = \frac{3}{x+2} - 2 は、y=3xy = \frac{3}{x}xx 軸方向に 2-2yy 軸方向に 2-2 平行移動したものである。
(2) y=x+21y = \sqrt{x+2} - 1
* **定義域:** 根号の中が0以上になるようにする。x+20x+2 \geq 0 より x2x \geq -2
* **値域:** x+20\sqrt{x+2} \geq 0 より y=x+211y = \sqrt{x+2} - 1 \geq -1
* **漸近線:** 漸近線はない。
* **グラフ:** y=x+21y = \sqrt{x+2} - 1 は、y=xy = \sqrt{x}xx 軸方向に 2-2yy 軸方向に 1-1 平行移動したものである。
(3) y=x+2y = -\sqrt{x+2}
* **定義域:** 根号の中が0以上になるようにする。x+20x+2 \geq 0 より x2x \geq -2
* **値域:** x+20\sqrt{x+2} \geq 0 より x+20-\sqrt{x+2} \leq 0。したがって y0y \leq 0
* **漸近線:** 漸近線はない。
* **グラフ:** y=x+2y = -\sqrt{x+2} は、y=xy = \sqrt{x}xx 軸方向に 2-2 平行移動し、xx 軸に関して反転したものである。

3. 最終的な答え

(1)
* 定義域: x<2x < -2 または x>2x > -2
* 値域: y<2y < -2 または y>2y > -2
* 漸近線: x=2x = -2, y=2y = -2
(2)
* 定義域: x2x \geq -2
* 値域: y1y \geq -1
* 漸近線: なし
(3)
* 定義域: x2x \geq -2
* 値域: y0y \leq 0
* 漸近線: なし

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