関数 $f(x) = \frac{1}{x}$ について、$x=1$ における微分係数を定義に従って求めよ。

解析学微分係数極限関数の微分
2025/5/27

1. 問題の内容

関数 f(x)=1xf(x) = \frac{1}{x} について、x=1x=1 における微分係数を定義に従って求めよ。

2. 解き方の手順

微分係数の定義に従い、極限を計算します。x=1x=1 における微分係数 f(1)f'(1) は次のように定義されます。
f(1)=limh0f(1+h)f(1)hf'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{f(1+h) - f(1)}{h}
関数 f(x)=1xf(x) = \frac{1}{x} を代入すると、
f(1)=limh011+h11hf'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{1+h} - \frac{1}{1}}{h}
f(1)=limh011+h1hf'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{1+h} - 1}{h}
f(1)=limh01(1+h)1+hhf'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1 - (1+h)}{1+h}}{h}
f(1)=limh0h1+hhf'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{-h}{1+h}}{h}
f(1)=limh0hh(1+h)f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{-h}{h(1+h)}
f(1)=limh011+hf'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{-1}{1+h}
h0h \to 0 のとき、1+h11+h \to 1 なので、
f(1)=11=1f'(1) = \frac{-1}{1} = -1

3. 最終的な答え

-1

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