関数 $f(x) = \frac{1}{x}$ について、$x=1$ における微分係数を定義に従って求めよ。解析学微分係数極限関数の微分2025/5/271. 問題の内容関数 f(x)=1xf(x) = \frac{1}{x}f(x)=x1 について、x=1x=1x=1 における微分係数を定義に従って求めよ。2. 解き方の手順微分係数の定義に従い、極限を計算します。x=1x=1x=1 における微分係数 f′(1)f'(1)f′(1) は次のように定義されます。f′(1)=limh→0f(1+h)−f(1)hf'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{f(1+h) - f(1)}{h}f′(1)=limh→0hf(1+h)−f(1)関数 f(x)=1xf(x) = \frac{1}{x}f(x)=x1 を代入すると、f′(1)=limh→011+h−11hf'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{1+h} - \frac{1}{1}}{h}f′(1)=limh→0h1+h1−11f′(1)=limh→011+h−1hf'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{1+h} - 1}{h}f′(1)=limh→0h1+h1−1f′(1)=limh→01−(1+h)1+hhf'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1 - (1+h)}{1+h}}{h}f′(1)=limh→0h1+h1−(1+h)f′(1)=limh→0−h1+hhf'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{-h}{1+h}}{h}f′(1)=limh→0h1+h−hf′(1)=limh→0−hh(1+h)f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{-h}{h(1+h)}f′(1)=limh→0h(1+h)−hf′(1)=limh→0−11+hf'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{-1}{1+h}f′(1)=limh→01+h−1h→0h \to 0h→0 のとき、1+h→11+h \to 11+h→1 なので、f′(1)=−11=−1f'(1) = \frac{-1}{1} = -1f′(1)=1−1=−13. 最終的な答え-1