関数 $f(x) = \frac{1}{x}$ について、$x=1$ における微分係数を定義に従って求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{1}{x}$ について、$x=1$ における微分係数を定義に従って求めよ。

2. 解き方の手順

微分係数の定義に従い、極限を計算します。$x=1$ における微分係数 $f'(1)$ は次のように定義されます。

$f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{f(1+h) - f(1)}{h}$

関数 $f(x) = \frac{1}{x}$ を代入すると、

$f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{1+h} - \frac{1}{1}}{h}$

$f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{1+h} - 1}{h}$

$f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1 - (1+h)}{1+h}}{h}$

$f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{-h}{1+h}}{h}$

$f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{-h}{h(1+h)}$

$f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{-1}{1+h}$

$h \to 0$ のとき、$1+h \to 1$ なので、

$f'(1) = \frac{-1}{1} = -1$

3. 最終的な答え

-1