## 問題の回答

## 問題の回答

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1. 問題の内容

この画像には、中間試験の問題がいくつか含まれています。

* 問1: 媒介変数表示された曲線上の点における接線の方程式を求める問題。

* 問2: 関数の微分を求める問題。

* 問3: 関数の積分を求める問題。

* 問4: 関数の微分を求める問題。

* 問5: 値を求める問題。

* 問6: 数列の定義に関する問題。

* 問7: 導関数の定義を用いて公式を証明する問題。

* 問8: 極限値を求める問題。

* 問9: 値を求める問題。

* 問10: 関数の導関数を定義に基づいて求める問題。

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2. 解き方の手順

いくつか問題が記載されていますが、ここでは問8の解き方のみ説明します。

**問8 (1) の解き方**

問題は、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{3x}$ を求めることです。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1$ を利用します。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{3x} = \frac{1}{3} \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = \frac{1}{3} \cdot 1 = \frac{1}{3}$

**問8 (2) の解き方**

問題は、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2(x)}{1 - \cos(x)}$ を求めることです。

$1 - \cos(x) = 2 \sin^2(\frac{x}{2})$ という半角の公式を利用します。

また、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1$ も利用します。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2(x)}{1 - \cos(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2(x)}{2 \sin^2(\frac{x}{2})}$

$= \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2(x)}{x^2} \cdot \frac{(\frac{x}{2})^2}{\sin^2(\frac{x}{2})} \cdot \frac{x^2}{2 (\frac{x}{2})^2}$

$= \lim_{x \to 0} (\frac{\sin(x)}{x})^2 \cdot (\frac{\frac{x}{2}}{\sin(\frac{x}{2})})^2 \cdot \frac{x^2}{\frac{1}{2} x^2}$

$= 1^2 \cdot 1^2 \cdot 2 = 2$

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3. 最終的な答え

問8 (1) の答え: $\frac{1}{3}$

問8 (2) の答え: $2$