中間試験の問題として、以下の問題が出題されています。 1. 媒介変数表示された関数の接線の方程式を求める。

1. 問題の内容

中間試験の問題として、以下の問題が出題されています。

1. 媒介変数表示された関数の接線の方程式を求める。

2. 関数 $(\sin{x})^x$ を微分する。

3. 与えられた関数を微分する。（関数式は不明）

4. 与えられた関数を微分する。（関数式は不明）

5. $\arctan{4} + \arctan{\frac{5}{3}}$ の値を求める。

6. $a^n$ の定義に関する問題。

7. 導関数の定義を用いて $(\tan{x})' = \frac{1}{\cos^2{x}}$ を示す。

8. 次の極限値を求める。

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin{(-x)}}{3x}$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2{x}}{1 - \cos{x}}$

9. $\arccos{(\sin{(\frac{1}{6})})}$ の値を求める。

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0. 関数の導関数を定義に従って（極限を計算することによって）求める。関数式は $((f(x))^2)'$

2. 解き方の手順

問題文全体が不鮮明な箇所があり、特に3, 4, 6, 10の問題文が判読困難です。判読可能な問題について、解法を説明します。

**問題1**

$x = a \sin{t}$, $y = 1 - \cos{t}$で媒介変数表示された関数について、$t = \frac{2\pi}{3}$ に対応する点Pにおける接線の方程式を求める。

まず、$\frac{dx}{dt}$と$\frac{dy}{dt}$を計算します。

$\frac{dx}{dt} = a\cos{t}$

$\frac{dy}{dt} = \sin{t}$

したがって、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{\sin{t}}{a\cos{t}} = \frac{1}{a} \tan{t}$

$t = \frac{2\pi}{3}$ のとき、$x = a \sin{\frac{2\pi}{3}} = a\frac{\sqrt{3}}{2}$、$y = 1 - \cos{\frac{2\pi}{3}} = 1 - (-\frac{1}{2}) = \frac{3}{2}$

また、$t = \frac{2\pi}{3}$ のとき、$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{a}\tan{\frac{2\pi}{3}} = \frac{1}{a}(-\sqrt{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{a}$

よって、点P($a\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\frac{3}{2}$)における接線の方程式は、

$y - \frac{3}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{a}(x - a\frac{\sqrt{3}}{2})$

$y = -\frac{\sqrt{3}}{a}x + \frac{3}{2} + \frac{3}{2}$

$y = -\frac{\sqrt{3}}{a}x + 3$

**問題2**

$y = (\sin{x})^x$ の微分を求めます。

両辺の自然対数を取ります。

$\ln{y} = \ln{(\sin{x})^x} = x\ln{(\sin{x})}$

両辺を$x$で微分します。

$\frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = \ln{(\sin{x})} + x \cdot \frac{\cos{x}}{\sin{x}} = \ln{(\sin{x})} + x \cot{x}$

$\frac{dy}{dx} = y(\ln{(\sin{x})} + x \cot{x})$

$\frac{dy}{dx} = (\sin{x})^x (\ln{(\sin{x})} + x \cot{x})$

**問題5**

$\arctan{4} + \arctan{\frac{5}{3}}$ の値を求めます。

$\arctan{4} = \alpha$, $\arctan{\frac{5}{3}} = \beta$ とおくと、$\tan{\alpha} = 4$, $\tan{\beta} = \frac{5}{3}$

$\tan{(\alpha + \beta)} = \frac{\tan{\alpha} + \tan{\beta}}{1 - \tan{\alpha}\tan{\beta}} = \frac{4 + \frac{5}{3}}{1 - 4 \cdot \frac{5}{3}} = \frac{\frac{12 + 5}{3}}{\frac{3 - 20}{3}} = \frac{17}{-17} = -1$

ここで、$\arctan$ の値域は $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ であるから、$\alpha \in (\frac{\pi}{2}, \pi)$ と $\beta \in (0, \frac{\pi}{2})$。

$\alpha + \beta$ は $\arctan$ の値域外なので、注意が必要です。

$\tan (\arctan 4 + \arctan \frac{5}{3}) = -1$

$\alpha + \beta = \frac{3\pi}{4}$

**問題8**

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin{(-x)}}{3x} = \lim_{x \to 0} \frac{-\sin{x}}{3x} = -\frac{1}{3}\lim_{x \to 0} \frac{\sin{x}}{x} = -\frac{1}{3} \cdot 1 = -\frac{1}{3}$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2{x}}{1 - \cos{x}} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2{x}}{1 - \cos{x}} \cdot \frac{1 + \cos{x}}{1 + \cos{x}} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2{x}(1 + \cos{x})}{1 - \cos^2{x}} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2{x}(1 + \cos{x})}{\sin^2{x}} = \lim_{x \to 0} (1 + \cos{x}) = 1 + \cos{0} = 1 + 1 = 2$

**問題9**

$\arccos{(\sin{(\frac{1}{6})})}$ の値を求めます。

$\frac{1}{6}$ は弧度法で表された角度です。ここで、$\frac{1}{6}$ラジアンは$\frac{180}{6\pi}$度で、およそ9.5度なので、$0 < \frac{1}{6} < \frac{\pi}{2}$

$\sin(\frac{1}{6}) = \cos(\frac{\pi}{2} - \frac{1}{6})$

$\arccos(\sin(\frac{1}{6})) = \arccos(\cos(\frac{\pi}{2} - \frac{1}{6})) = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{6}$

3. 最終的な答え

問題1: $y = -\frac{\sqrt{3}}{a}x + 3$

問題2: $\frac{dy}{dx} = (\sin{x})^x (\ln{(\sin{x})} + x \cot{x})$

問題5: $\frac{3\pi}{4}$

問題8 (1): $-\frac{1}{3}$

問題8 (2): 2

問題9: $\frac{\pi}{2} - \frac{1}{6}$