以下の5つの関数を微分する問題です。 (1) $\cos(4x-3)$ (2) $\tan(3x^2+2)$ (3) $x^4\sin^3x$ (4) $\cos^4(\frac{2}{x^3+1})$ (5) $\frac{\cos x}{\sin x + \cos x}$

1. 問題の内容

以下の5つの関数を微分する問題です。

(1) $\cos(4x-3)$

(2) $\tan(3x^2+2)$

(3) $x^4\sin^3x$

(4) $\cos^4(\frac{2}{x^3+1})$

(5) $\frac{\cos x}{\sin x + \cos x}$

2. 解き方の手順

(1) $\cos(4x-3)$ の微分

合成関数の微分公式を使います。$\frac{d}{dx}\cos(u) = -\sin(u) \cdot \frac{du}{dx}$ で、$u=4x-3$ とすると、$\frac{du}{dx}=4$ です。

したがって、

$$\frac{d}{dx}\cos(4x-3) = -\sin(4x-3) \cdot 4 = -4\sin(4x-3)$$

(2) $\tan(3x^2+2)$ の微分

合成関数の微分公式を使います。$\frac{d}{dx}\tan(u) = \frac{1}{\cos^2(u)} \cdot \frac{du}{dx}$ で、$u=3x^2+2$ とすると、$\frac{du}{dx}=6x$ です。

したがって、

$$\frac{d}{dx}\tan(3x^2+2) = \frac{1}{\cos^2(3x^2+2)} \cdot 6x = \frac{6x}{\cos^2(3x^2+2)}$$

(3) $x^4\sin^3x$ の微分

積の微分公式と合成関数の微分公式を使います。

$\frac{d}{dx}(uv) = u'v + uv'$ で、$u=x^4$ 、$v=\sin^3x$ とすると、$u'=4x^3$ 、$v'=3\sin^2x \cdot \cos x$ です。

したがって、

$$\frac{d}{dx}(x^4\sin^3x) = 4x^3\sin^3x + x^4(3\sin^2x\cos x) = 4x^3\sin^3x + 3x^4\sin^2x\cos x$$

(4) $\cos^4(\frac{2}{x^3+1})$ の微分

合成関数の微分公式を使います。$\frac{d}{dx}u^4 = 4u^3\frac{du}{dx}$ 、$u=\cos(\frac{2}{x^3+1})$ 、 $\frac{d}{dx}\cos(v) = -\sin(v)\frac{dv}{dx}$ 、 $v=\frac{2}{x^3+1}=2(x^3+1)^{-1}$ 、 $\frac{dv}{dx} = 2(-1)(x^3+1)^{-2}(3x^2) = \frac{-6x^2}{(x^3+1)^2}$

したがって、

$$$$

\begin{aligned}

\frac{d}{dx}\cos^4(\frac{2}{x^3+1}) &= 4\cos^3(\frac{2}{x^3+1}) \cdot [-\sin(\frac{2}{x^3+1})] \cdot [\frac{-6x^2}{(x^3+1)^2}] \\

&= \frac{24x^2}{(x^3+1)^2} \cos^3(\frac{2}{x^3+1}) \sin(\frac{2}{x^3+1})

\end{aligned}

$$$$

(5) $\frac{\cos x}{\sin x + \cos x}$ の微分

商の微分公式を使います。$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ で、$u=\cos x$ 、$v=\sin x + \cos x$ とすると、$u'=-\sin x$ 、$v'=\cos x - \sin x$ です。

したがって、

$$$$

\begin{aligned}

\frac{d}{dx}(\frac{\cos x}{\sin x + \cos x}) &= \frac{(-\sin x)(\sin x + \cos x) - (\cos x)(\cos x - \sin x)}{(\sin x + \cos x)^2} \\

&= \frac{-\sin^2x - \sin x\cos x - \cos^2x + \sin x\cos x}{(\sin x + \cos x)^2} \\

&= \frac{-(\sin^2x + \cos^2x)}{(\sin x + \cos x)^2} \\

&= \frac{-1}{(\sin x + \cos x)^2}

\end{aligned}

$$$$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{d}{dx}\cos(4x-3) = -4\sin(4x-3)$

(2) $\frac{d}{dx}\tan(3x^2+2) = \frac{6x}{\cos^2(3x^2+2)}$

(3) $\frac{d}{dx}(x^4\sin^3x) = 4x^3\sin^3x + 3x^4\sin^2x\cos x$

(4) $\frac{d}{dx}\cos^4(\frac{2}{x^3+1}) = \frac{24x^2}{(x^3+1)^2} \cos^3(\frac{2}{x^3+1}) \sin(\frac{2}{x^3+1})$

(5) $\frac{d}{dx}(\frac{\cos x}{\sin x + \cos x}) = \frac{-1}{(\sin x + \cos x)^2}$