与えられた5つの関数をそれぞれ微分する問題です。 (1) $f(x)=(2x-3)^6$ (2) $f(x)=\left(\frac{x^3}{2x+5}\right)^4$ (3) $f(x)=\sqrt[3]{x^3+4x+1}$ (4) $f(x)=\frac{2x+1}{\sqrt{3x}+1}$ (5) $f(x)=\sqrt[4]{x^7}$

はい、承知いたしました。以下の問題について、解法と解答を説明します。

1. 問題の内容

与えられた5つの関数をそれぞれ微分する問題です。

(1) $f(x)=(2x-3)^6$

(2) $f(x)=\left(\frac{x^3}{2x+5}\right)^4$

(3) $f(x)=\sqrt[3]{x^3+4x+1}$

(4) $f(x)=\frac{2x+1}{\sqrt{3x}+1}$

(5) $f(x)=\sqrt[4]{x^7}$

2. 解き方の手順

各関数ごとに微分を計算します。

(1) $f(x)=(2x-3)^6$

合成関数の微分を利用します。$u=2x-3$とおくと、$f(u)=u^6$となります。

$\frac{df}{dx}=\frac{df}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ を用います。

$\frac{df}{du}=6u^5$

$\frac{du}{dx}=2$

したがって、$\frac{df}{dx}=6(2x-3)^5 \cdot 2 = 12(2x-3)^5$

(2) $f(x)=\left(\frac{x^3}{2x+5}\right)^4$

これも合成関数の微分を利用します。$u=\frac{x^3}{2x+5}$とおくと、$f(u)=u^4$となります。

$\frac{df}{dx}=\frac{df}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ を用います。

$\frac{df}{du}=4u^3=4\left(\frac{x^3}{2x+5}\right)^3$

$\frac{du}{dx}=\frac{3x^2(2x+5)-x^3(2)}{(2x+5)^2}=\frac{6x^3+15x^2-2x^3}{(2x+5)^2}=\frac{4x^3+15x^2}{(2x+5)^2}$

したがって、$\frac{df}{dx}=4\left(\frac{x^3}{2x+5}\right)^3 \cdot \frac{4x^3+15x^2}{(2x+5)^2} = \frac{4x^9(4x+15)}{(2x+5)^5}$

(3) $f(x)=\sqrt[3]{x^3+4x+1}=(x^3+4x+1)^{\frac{1}{3}}$

これも合成関数の微分を利用します。$u=x^3+4x+1$とおくと、$f(u)=u^{\frac{1}{3}}$となります。

$\frac{df}{dx}=\frac{df}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ を用います。

$\frac{df}{du}=\frac{1}{3}u^{-\frac{2}{3}}=\frac{1}{3(x^3+4x+1)^{\frac{2}{3}}}$

$\frac{du}{dx}=3x^2+4$

したがって、$\frac{df}{dx}=\frac{1}{3(x^3+4x+1)^{\frac{2}{3}}} \cdot (3x^2+4) = \frac{3x^2+4}{3\sqrt[3]{(x^3+4x+1)^2}}$

(4) $f(x)=\frac{2x+1}{\sqrt{3x}+1}$

商の微分法を利用します。$\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$

$u=2x+1$, $v=\sqrt{3x}+1$とおくと、

$u'=2$, $v'=\frac{3}{2\sqrt{3x}}$

$\frac{df}{dx}=\frac{2(\sqrt{3x}+1)-(2x+1)\frac{3}{2\sqrt{3x}}}{(\sqrt{3x}+1)^2} = \frac{4(\sqrt{3x}+1)\sqrt{3x}-3(2x+1)}{2\sqrt{3x}(\sqrt{3x}+1)^2} = \frac{4(3x+\sqrt{3x})-6x-3}{2\sqrt{3x}(\sqrt{3x}+1)^2} = \frac{12x+4\sqrt{3x}-6x-3}{2\sqrt{3x}(\sqrt{3x}+1)^2} = \frac{6x+4\sqrt{3x}-3}{2\sqrt{3x}(\sqrt{3x}+1)^2}$

(5) $f(x)=\sqrt[4]{x^7}=x^{\frac{7}{4}}$

$f'(x) = \frac{7}{4}x^{\frac{7}{4}-1}=\frac{7}{4}x^{\frac{3}{4}}$

3. 最終的な答え

(1) $12(2x-3)^5$

(2) $\frac{4x^9(4x+15)}{(2x+5)^5}$

(3) $\frac{3x^2+4}{3\sqrt[3]{(x^3+4x+1)^2}}$

(4) $\frac{6x+4\sqrt{3x}-3}{2\sqrt{3x}(\sqrt{3x}+1)^2}$

(5) $\frac{7}{4}x^{\frac{3}{4}}$