関数 $f(x) = \log(1+x)$ について、以下の2つの問題を解く。 (1) $f(x)$ の3次のマクローリン展開を求める。 (2) (1)で求めたマクローリン展開を用いて、$\log 1.1$ の近似値を小数第5位を四捨五入して小数第4位まで求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \log(1+x)$ について、以下の2つの問題を解く。

(1) $f(x)$ の3次のマクローリン展開を求める。

(2) (1)で求めたマクローリン展開を用いて、$\log 1.1$ の近似値を小数第5位を四捨五入して小数第4位まで求める。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = \log(1+x)$ のマクローリン展開を求める。マクローリン展開は、関数とその導関数の $x=0$ における値を用いて、次のように表される。

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \cdots$

まず、$f(x)$ の導関数を求める。

$f(x) = \log(1+x)$

$f'(x) = \frac{1}{1+x}$

$f''(x) = -\frac{1}{(1+x)^2}$

$f'''(x) = \frac{2}{(1+x)^3}$

次に、$x=0$ における各関数の値を求める。

$f(0) = \log(1+0) = \log(1) = 0$

$f'(0) = \frac{1}{1+0} = 1$

$f''(0) = -\frac{1}{(1+0)^2} = -1$

$f'''(0) = \frac{2}{(1+0)^3} = 2$

これらの値をマクローリン展開の式に代入して、3次までの項を求める。

$f(x) \approx 0 + 1 \cdot x + \frac{-1}{2}x^2 + \frac{2}{6}x^3$

$f(x) \approx x - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3$

(2) $x=0.1$ を (1) で求めた3次のマクローリン展開に代入して、$\log 1.1$ の近似値を求める。

$\log 1.1 = \log(1+0.1) \approx 0.1 - \frac{1}{2}(0.1)^2 + \frac{1}{3}(0.1)^3$

$\log 1.1 \approx 0.1 - \frac{1}{2}(0.01) + \frac{1}{3}(0.001)$

$\log 1.1 \approx 0.1 - 0.005 + 0.000333\cdots$

$\log 1.1 \approx 0.095333\cdots$

小数第5位を四捨五入して、小数第4位まで求めると、

$\log 1.1 \approx 0.0953$

3. 最終的な答え

(1) $f(x)$ の3次のマクローリン展開: $x - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3$

(2) $\log 1.1$ の近似値: $0.0953$