与えられた5つの関数を微分する問題です。 (1) $cos(4x-3)$ (2) $tan(3x^2+2)$ (3) $x^4sin^3x$ (4) $cos^4(\frac{2}{x^3+1})$ (5) $\frac{cosx}{sinx+cosx}$

1. 問題の内容

与えられた5つの関数を微分する問題です。

(1) $cos(4x-3)$

(2) $tan(3x^2+2)$

(3) $x^4sin^3x$

(4) $cos^4(\frac{2}{x^3+1})$

(5) $\frac{cosx}{sinx+cosx}$

2. 解き方の手順

(1) $cos(4x-3)$の微分

合成関数の微分を行います。$u = 4x-3$とすると、$\frac{du}{dx} = 4$、$\frac{d}{du}cos(u) = -sin(u)$なので、

$\frac{d}{dx}cos(4x-3) = -sin(4x-3) \cdot 4 = -4sin(4x-3)$

(2) $tan(3x^2+2)$の微分

合成関数の微分を行います。$u = 3x^2+2$とすると、$\frac{du}{dx} = 6x$、$\frac{d}{du}tan(u) = \frac{1}{cos^2(u)}$なので、

$\frac{d}{dx}tan(3x^2+2) = \frac{1}{cos^2(3x^2+2)} \cdot 6x = \frac{6x}{cos^2(3x^2+2)}$

(3) $x^4sin^3x$の微分

積の微分公式と合成関数の微分公式を使います。

$\frac{d}{dx}(x^4sin^3x) = \frac{d}{dx}(x^4) \cdot sin^3x + x^4 \cdot \frac{d}{dx}(sin^3x)$

$= 4x^3sin^3x + x^4 \cdot 3sin^2x \cdot cosx = 4x^3sin^3x + 3x^4sin^2xcosx$

(4) $cos^4(\frac{2}{x^3+1})$の微分

合成関数の微分を行います。$u = \frac{2}{x^3+1}$とすると、$\frac{du}{dx} = 2 \cdot \frac{-3x^2}{(x^3+1)^2} = \frac{-6x^2}{(x^3+1)^2}$、$\frac{d}{du}cos^4(u) = 4cos^3(u) \cdot (-sin(u)) = -4cos^3(u)sin(u)$なので、

$\frac{d}{dx}cos^4(\frac{2}{x^3+1}) = -4cos^3(\frac{2}{x^3+1})sin(\frac{2}{x^3+1}) \cdot \frac{-6x^2}{(x^3+1)^2} = \frac{24x^2cos^3(\frac{2}{x^3+1})sin(\frac{2}{x^3+1})}{(x^3+1)^2}$

(5) $\frac{cosx}{sinx+cosx}$の微分

商の微分公式を使います。

$\frac{d}{dx}(\frac{cosx}{sinx+cosx}) = \frac{(-sinx)(sinx+cosx) - cosx(cosx-sinx)}{(sinx+cosx)^2} = \frac{-sin^2x-sinxcosx - cos^2x+sinxcosx}{(sinx+cosx)^2} = \frac{-(sin^2x+cos^2x)}{(sinx+cosx)^2} = \frac{-1}{(sinx+cosx)^2}$

3. 最終的な答え

(1) $-4sin(4x-3)$

(2) $\frac{6x}{cos^2(3x^2+2)}$

(3) $4x^3sin^3x + 3x^4sin^2xcosx$

(4) $\frac{24x^2cos^3(\frac{2}{x^3+1})sin(\frac{2}{x^3+1})}{(x^3+1)^2}$

(5) $\frac{-1}{(sinx+cosx)^2}$