微分方程式 $y' = \frac{x}{y} + \frac{y}{x}$ を、$y/x = u$ と変数変換して解き、初期条件 $y(1) = 2$ を満たす特殊解を求める。

1. 問題の内容

微分方程式 $y' = \frac{x}{y} + \frac{y}{x}$ を、$y/x = u$ と変数変換して解き、初期条件 $y(1) = 2$ を満たす特殊解を求める。

2. 解き方の手順

まず、$y/x = u$ より、$y = ux$ である。これを $x$ で微分すると、$y' = u + x \frac{du}{dx}$ となる。

与えられた微分方程式 $y' = \frac{x}{y} + \frac{y}{x}$ に、$y = ux$ を代入すると、$y' = \frac{1}{u} + u$ となる。

したがって、$u + x \frac{du}{dx} = \frac{1}{u} + u$ となり、$x \frac{du}{dx} = \frac{1}{u}$ となる。

これを変数分離すると、$u du = \frac{1}{x} dx$ となる。

両辺を積分すると、$\int u du = \int \frac{1}{x} dx$ より、$\frac{1}{2} u^2 = \ln|x| + C$ となる ($C$ は積分定数)。

$u = y/x$ を代入すると、$\frac{1}{2} (\frac{y}{x})^2 = \ln|x| + C$ となる。

$(\frac{y}{x})^2 = 2\ln|x| + 2C$

$y^2 = x^2 (2\ln|x| + 2C)$

$y = \pm x \sqrt{2\ln|x| + 2C}$

初期条件 $y(1) = 2$ を適用する。

$2 = \pm 1 \sqrt{2\ln|1| + 2C}$

$2 = \pm \sqrt{0 + 2C}$

$4 = 2C$

$C = 2$

よって、$y^2 = x^2 (2\ln|x| + 4)$. 初期条件から、$x=1$のとき$y=2$なので、正の解を選ぶ必要がある。

$y = x\sqrt{2\ln|x| + 4}$

$y(1) = 1 \sqrt{2\ln|1| + 4} = \sqrt{4} = 2$

3. 最終的な答え

$y = x\sqrt{2\ln|x| + 4}$