$e$ を自然対数の底とするとき、$e \le p < q$ の条件の下で、不等式 $\log(\log q) - \log(\log p) < \frac{q-p}{e}$ が成り立つことを証明する。

1. 問題の内容

$e$ を自然対数の底とするとき、$e \le p < q$ の条件の下で、不等式 $\log(\log q) - \log(\log p) < \frac{q-p}{e}$ が成り立つことを証明する。

2. 解き方の手順

平均値の定理を利用する。

$f(x) = \log(\log x)$ とする。

$e \le p < q$ より、関数 $f(x)$ は $[p, q]$ で連続であり、$(p, q)$ で微分可能である。

よって、平均値の定理より、

$\frac{f(q) - f(p)}{q - p} = f'(c)$ を満たす $c$ が $p < c < q$ に存在する。

ここで、$f'(x) = \frac{1}{\log x} \cdot \frac{1}{x}$ であるから、

$f'(c) = \frac{1}{c \log c}$ となる。

よって、

$\frac{\log(\log q) - \log(\log p)}{q - p} = \frac{1}{c \log c}$

$\log(\log q) - \log(\log p) = \frac{q - p}{c \log c}$

ここで、$e \le p < c < q$ であるから、$c \ge e$ であり、$\log c \ge \log e = 1$ である。

したがって、$c \log c \ge e \cdot 1 = e$ となる。

よって、$\frac{1}{c \log c} \le \frac{1}{e}$ となる。

これより、

$\log(\log q) - \log(\log p) = \frac{q-p}{c \log c} \le \frac{q-p}{e}$

したがって、$\log(\log q) - \log(\log p) < \frac{q-p}{e}$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

$e \le p < q$ のとき、不等式 $\log(\log q) - \log(\log p) < \frac{q-p}{e}$ は成り立つ。